Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
иногда позволяет восполнить недостатки других.
Недавние исследования показали, что существует множество задач на
собственные значения, связанных с интегрируемыми нелинейными
дифференциальными уравнениями. В случае уравнения Буссинеска оператор L
имеет третий порядок
[8.19], а в случае уравнений взаимодействия трех волн [8.20]
322
8. Обобщенная матричная форма метода
этот оператор является матричным 3 X 3-оператором типа Дирака, как и для
уравнений, описывающих взаимодействие длинных и коротких волн [8.21]. Для
уравнения волн на воде и для уравнения sine-Gordon в лабораторных
координатах линейная задача содержит потенциал, зависящий от
спектрального параметра. Более того, в случае уравнения Кадомцева -
Петвиащ-вили задача на собственное значение является двумерной [8.24].
Нам не известно, какая формулировка МОЗР наиболее общая. Однако можно с
уверенностью говорить о большом вкладе этого метода в математическую
физику. В течение долгого времени преобразование Фурье, т. е. разложение
по синусоидальным волнам, исчерпывало наши возможности исследований.
Сейчас наступает период действительного понимания нелинейных волн,
основанный на использовании метода обратной задачи рассеяния и концепции
солитонов.
ЛИТЕРАТУРА
8.1. Gardner С. S., Green J. М., Kruskal М. D., Miura R. M. - Phys Rev.
Lett.
19, 1095 (1967); Commun. Pure Appl. Math. 27, 97 (1974), см. также
Wadati М., Toda M. - J. Phys. Soc. Jpn. 32, 1403 (1972).
8.2. Lax P. D. - Commun. Pure Appl. Math., 21, 467 (1968).
8.3. Захаров В. E" Шабат А. Б. - ЖЭТФ 61, 118 (1971).
8.4. Wadati М. -J. Phys. Soc. Jpn. 32, 1681 (1972); 34, 1289
(1973).
8.5. Ablowitz M. J., Каир D. J., Newell A. C., Segur H. - Phys. Rev.
Lett. 30,
1262 (1973); 31, 125 (1973); Stud. Appl. Math. 53, 249 (1974).
8.6. Lamb G. L" Jr. -Phys. Rev. A9, 422 (1974),
8.7. Wadati М., Kamijo T. - Prog. Theor. Phys. 52, 397 (1974).
8.8. Wadati М.-J. Phys. Soc. Jpn. 38, 673, 681 (1975).
8.9. Манаков С. В, -ЖЭТФ 65, 1396 (1973).
8.10. Калоджеро Ф., Дегасппрес А. - См. гл. 9 настоящей книги.
8.11. Case К. М., Кас М.-J. Math. Phys. 14, 594 (1973);
Case К. М.-J. Math. Phys. 14, 916 (1973).
8.12. Flaschka H. - Prog. Theor. Phys. 51, 703 (1974).
8.13. Захаров В. E., Мушер С., Рубенчик А. - Письма в ЖЭТФ 19,
151
(1974).
8.14. Toda М. -Phys. Rep. 18С, 1 (1975).
8.15. Hirota R. - J. Phys. Soc. Jpn. 34, 289 (1973).
8.16. Ablowitz M. J., Ladik J. F. - J. Math. Phys. 17, 1011 (1976).
8.17. Wadati M. - Suppl. Prog. Theor. Phys. 59, 36 (1976).
8.18. Miura R. М., Gardner C. S., Kruscal M. D. - J. Math. Phys. 9, 1204
(1968).
8.19. Захаров В. E. - ЖЭТФ 65, 219 (1973).
8.20. Захаров В. Е., Манаков С. В. - Письма в ЖЭТФ 18, 413
(1973)1
Каир D. J. -Stud. Appl. Math. 55, 9 (1976).
8.21 Newell А. С. - Препринт.
8.22. Каир D. J. - Prog. Theor. Phys. 54, 396 (1975).
8.23. Захаров В. E., Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д.-ДАН СССР 219, 1934
(1974).
Каир D. J. - Stud. Appl. Math. 54, 165 (1975).
8.24. Дрюма В. - Письма в ЖЭТФ 19, 387 (1974).
9. НЕЛИНЕЙНЫЕ
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ОБРАТНЫМ СПЕКТРАЛЬНЫМ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ, АССОЦИИРОВАННЫМ С МАТРИЧНЫМ УРАВНЕНИЕМ ШРЁДИНГЕРА
Ф. Калоджеро, А. Дегаспирес
Класс нелинейных эволюционных уравнений (НЭУ), которые могут быть
проинтегрированы с помощью обратного спектрального преобразования (ОСП),
ассоциированного с (линейным) матричным уравнением Шрёдингера на
собственные значения, может быть расширен по сравнению с описанным в
предыдущей главе М. Вадати. Наиболее замечательная особенность новых
интегрируемых НЭУ, полученных таким образом, - это поведение их
солитонов, которые, по-прежнему обладая характерной для солитонов
устойчивостью, в общем случае не движутся с постоянной скоростью, а ведут
себя скорее как частицы во внешнем поле (которое само, вообще говоря,
зависит от параметров солитона, например, от его "формы" и начальной
"поляризации"). В настоящей главе мы опишем этот класс нелинейных
эволюционных уравнений, решение задачи Коши методом ОСП для этих
уравнений и различные свойства их решений, в том числе преобразования
Бэклунда и некоторые связанные с ними результаты (нелинейный принцип
суперпозиции, многосолитон-ные решения, законы сохранения, обобщенные
резольвентные формулы, нелинейные операторные тождества).
Проанализировано простейшее из новых НЭУ и поведение его солитонов (или,
скорее, "бумеронов").
Наше изложение является весьма сжатым (особенно в том, что касается
преобразований Бэклунда и смежных вопросов). Более детальное рассмотрение
нашего метода, основанного на обобщенных соотношениях Вронского, и
описание взаимосвязи метода с другими подходами можно найти в
опубликованных нами работах [9.1] - [9.3].
9.1. Прямая и обратная задачи для матричного уравнения Шрёдингера;
обозначения
Основные результаты изложены Вадати в предыдущей главе. Чтобы ввести
обозначения, используемые в дальнейшем, здесь они лишь кратко
перечислены.
Основные обозначения. В общем случае для матриц (N X N) используются
