Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 127

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 156 >> Следующая

33S
(где оп - матрицы Паули). "Уравнение бумерона" удобно записать через
трехмерные векторы a, b, V(x,t) и скаляр U(x,t). Оно имеет вид
Ut(x, 0=Ь • V,(дс, t), (9.59а)
Vxt {х, t) - Uxx (х, t) b + a X V, (x, t) - 2V, (*, t) X [V (x, t) X b].
(9.59b)
Величины U(x,t) и V(x,t) удовлетворяют асимптотическим условиям
U(+°°, t) = Ux(± oo, /) = 0, V(+oo, t) = V,(± oo, /) = 0.
(9.60)
До сих пор не найдено физического явления, которое бы описывалось этим
уравнением. Ввиду замечательных свойств его решений, которые будут
обсуждены ниже, поиск физической модели для него представляет особый
интерес. В этой связи следует отметить, что уравнение (9.59) может быть
выведено из вариационного принципа для лагранжиана с плотностью
и{их+±\<-\х-ихъ-\х +
+ |(а X V,) • V +2(V, • V). (Ь • V). (9.61)
Решение задачи Коши для нелинейного эволюционного уравнения (9.59) в
классе функций с граничными условиями (9.60) может быть получено с
помощью обратного спектрального преобразования, описанного в
предшествующем разделе. Опишем более детально поведение солитонного
решения
U(x, /) = -р{1 - th[p(x - I(/))]}, V(x, t) = n(t)U(x, t). (9.62)
Можно показать, что "положение" и "поляризация" • (п, (/) - единичный
вектор; мы всегда придерживаемся обозначения v = uv) эволюционируют во
времени согласно уравнениям
п< (0 = а X п (/) + 2рп (/) X [п (О X Ь], (9.63а)
IДО = - b - п (/). (9.63Ь)
Эти уравнения могут быть проинтегрированы точно:
6 (0 = 6о + (2РГ1 In [п+Е+ (/) + п_Е_ (/) + sS (0 + сС (/)], (9.64)
п (/) = [п+Е+ (/) + п(0 + sS (/) + сС (/)] X
X [п+Е+ (0 + п_Е_ (0 + sS (0 + сС (Z)]-1, (9.65)
Е± (0 = ехр [± av_ (/ - /")], S (t) = sin [av+ (/ - /0)],
С (/) = cos [av+ (t - *о)], (9.66)
v± = {[Я2 (i • b)2 + j(l - Я2)2]1'2 ± J (1 - Я2) }1/2, (9.67)
336
9. Нелинейные эволюционные уравнения
9.4. Уравнение бумерона ?37
Рис. 9.1. а - е. Поведение бумерона. Ux(x, t) показана как функция х
через равные промежутки времени. Все пять случаев относятся к (9.59) при
а-b = 0. Рис. айв были получены из (9.62), (9.79), (9.81), а для
получения рис. с - е было использовано, кроме этого, (9.56). Все рисунки
были получены на ЭВМ д-ром Дж. Эйлбеком (математический факультет
университета Хериот-Уоот, Эдинбург).
X - 2рЬ/а, (9.68)
n± = {(v+ - l) По + [(а • Пэ) Т T)V+] а +
+ X [X (Ь • no) =F v_] b ± v_ (а X no) Т t)Av+ (В X п0) -
- A,(aXb)}/(v+ + v2-), г) = sign (а ¦ В), (9.69)
S = 1) [v_a - T)Av+B -f T|V+ (a x no) + Av_ (b X n0)]/(v2f + vi), c = no
- n+ - n_, (9.70)
s = i)[v-(a • n0) -t)Av+(B • n0)]/(v+ + vl), (9.71)
с = 1 - tl+ - n_.
Следует отметить следующие важные свойства полученных выражений. I) п(/)
является единичным вектором при всех /;
II) единичные векторы п± =(+ r|v+a ± Av_6 - ,\а X b)/( 1 + vi) не
зависят от начальной поляризации n0; III) поляризация остается
постоянной, п(/) = п0, тогда и только тогда, когда п0 = п+ или По =п_.
Скорость солитона и его поляризация, вообще говоря, меняются во времени.
Обсудим кратко это замечательное свойство. Ниже обсуждаются отдельно два
случая, отвечающие условиям аXЬ = 0 или а-В=0.
Если начальная поляризация п0 совпадала с одним из единичных векторов п+,
то солитон движется (направо или налево,
338
9. Нелинейные эволюционные уравнения
см. ниже) с постоянной скоростью, равной по модулю
v = ^-a\Jp - bvJK. (9.72)
Поляризация остается постоянной, т. е.
n(/) = no, |(0 = |о ± v (t - to), По = п±. (9.73)
В противном случае обе величины п(/) и lt(t) меняются во времени, и ни
при каком конечном времени п(/) не совпадает с п±, тогда как
асимптотически
п (± оо) = n±, lt{±oo)~±v. (9.74)
Таким образом, независимо от начальных условий, принятых при t0 (лишь бы
По ф п±), в далеком будущем и отдаленном прошлом солитон (или, скорее,
бумерон) уходит на бесконечность направо и приходит справа из
бесконечности с одинаковой асимптотической скоростью v
КО-Uo + t>U -/0|]==О[ехр(-av_|/|], /->±оо. (9.75)
Для данных а и b (т. е. для данного НЭУ вида (9.59)) форма ("амплитуда" и
"ширина" бумерона, а также его асимптотическая скорость v) определяются
положительной константой р. Начальное положение бумерона ?0 может быть
выбрано произвольно, что согласуется с трансляционной инвариантностью НЭУ
(9.59). Начальная скорость и все последующее поведение бумерона при
конечных временах зависит от начальной поляризации, в то время как его
асимптотическое поведение не зависит от по (если только По не совпадает с
п±). В заключение заметим, что только в случае п0 =п_ или п0 = п+ солитон
может уходить на левую бесконечность (или приходить из нее).
Специальный случай аХЬ=0. Бумерон по-прежнему описывается (9.62), (9.63),
но поведение КО и п(0 Дается более простыми выражениями
I (0 = Ь> + (2р)~1 In {ch [2pb (/ - /0)] - (В • По) sh [2pb (/-/0)]},
(9.76)
п (0 = {В [(Ь • п0) ch [2pb (t - /")] - sh [2pb (t - /")] +
+ (b X n0) sin [a (/ - /0)] + [n0 - b (b • n0)] cos [a (t - /")]} X
X {ch [2pb (t - /0)] - (b • n0)sh [2pb (t - /0)]}Л (9.77)
Эти формулы могут быть получены из общих выражений, приведенных выше. Из
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed