Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 118

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 156 >> Следующая

Solving It, - Preprint, New York, 1975.
7.31. Захаров В. E., Шабат А. Б. - Функц. анализ 13(3), 13 (1979).
в. ОБОБЩЕННАЯ МАТРИЧНАЯ ФОРМА МЕТОДА ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ
М. Вадати
В настоящей статье дается обзор результатов по матричному обобщению
метода обратной задачи рассеяния. В первой части статьи обсуждается
обратная задача рассеяния для матричного (п X п) уравнения Шрёдингера. Во
второй части метод обратной задачи рассеяния обобщается на матричный
случай. Приводятся матричные нелинейные эволюционные уравнения, которые
могут быть проинтегрированы с помощью предложенного обобщения. В
заключение подчеркивается, что подобное обобщение возможно и для
дискретного случая (решеточные задачи).
8.1. Исторические замечания
Обзор краткой истории метода обратной задачи рассеяния (иногда МОЗР для
краткости) позволяет прояснить мотивировку и цели матричного обобщения,
предлагаемого ниже.
В 1967 г. Гарднер с соавторами [8.1] открыли метод интегрирования
уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ). Они рассмотрели уравнение
Шрёдингера, потенциал которого является решением уравнения КдФ, и
показали, что точные решения уравнения КдФ могут быть получены с помощью
решения обратной задачи рассеяния для уравнения Шрёдингера. В общей форме
этот метод вскоре был сформулирован Лаксом [8.2]. Он заметил, что
"унитарная эквивалентность" ассоциированного оператора является сущностью
метода. В 1972 г. Захаров и Шабат [8.3] проинтегрировали с помощью МОЗР
нелинейное уравнение Шрёдингера. Они использовали матричный оператор 2X2
дираковского типа с производными первого порядка. Их работа оказалась
весьма существенной для развития метода обратной задачи рассеяния. Стало
ясно, что МОЗР пригоден не только для интегрирования уравнения КдФ.
Впоследствии автором было показано, что модифицированное уравнение КдФ
интегрируемо с помощью формализма Захарова - Шабата. Другая существенная
особенность работы Захарова и Шабата состоит в том, что вспомогательный
линейный оператор не эрмитов. Следовательно, унитарная эквивалентность
Лакса не единственный путь построения МОЗР. Заметив это, Абловиц с
соавторами (АКНС) [8.5] показали, что уравнение sine-Gordon в ко-
8.2. Обратная задача рассеяния
311
нусных переменных также интегрируемо, и упростили формулировку метода
обратной задачи рассеяния.
Под влиянием работы Захарова и Шабата в ходе интегрирования
модифицированного уравнения КдФ автор заметил, что МОЗР может быть
сформулирован с помощью матричного уравнения Шрёдингера. Приблизительно в
то же самое время Лэм
[8.6] получил сходный результат при исследовании распространения
когерентного импульса в нелинейной оптике. Наличие более общих задач на
собственные значения, для которых обратная задача рассеяния разрешима,
также способствовало дальнейшему прояснению возможностей МОЗР. После
этого обобщенная матричная форма МОЗР была предложена в работе
[8.7]. Вскоре автор заметил возможность подобного обобщения для задач на
решетке.
Без сомнения, МОЗР является одним из крупнейших открытий современной
математической физики. Здесь хочется сделать два замечания. Во-первых,
метод обратной задачи рассеяния - единственный метод, позволяющий точно
решить задачу Коши для нелинейных уравнений. Во-вторых, он естественно
приводит к выводу, что солитонные системы являются вполне интегрируемыми
системами.
Настоящая работа посвящена подведению итогов обобщенной матричной
формулировки метода обратной задачи рассеяния. В разд. 8.2
рассматривается обратная задача рассеяния для "атричного шХт уравнения
Шрёдингера. В разд. 8.3 МОЗР обобщается на матричный случай. Приводятся
интегрируемые уравнения, связанные с матричным уравнением Шрёдингера.
Последний раздел содержит заключительные замечания.
8.2. Обратная задача рассеяния
Рассмотрим задачу на собственные значения для матричного щ X m оператора
Шрёдингера на всей прямой (- оо < х < оо)
L^{x, k) = l^{x, k), к - k~, (8.1)
где
L = - (д2/дх2) I + U (х),
7 = (бг/)> У(х) = (иц(х)); ^8'2^
ф(*. &) = hM*, 6)> i>2(x, k) фт(х, k)\. (8.3)
Каждый набор из m решений системы (8.1) может быть представлен матрицей
Ч'Хх, k) размером m X >п, удовлетворяющей уравнению
- (х, k) + U (х) ? (*, k) = k2W (х, k). (8.4)
312
5. Обобщенная матричная форма метода
Пусть потенциал U(х) удовлетворяет следующим условиям:
a) потенциал U(х) эрмитов, т. е. ll*(x)= U(x)\
b) потенциал И(х) непрерывен и достаточно быстро убывает при | х | ->¦
ОО.
В конце этого раздела будут приведены необходимые пояснения к этим
предположениям. Далее формулировки теорем и лемм приводятся без
доказательств, которые могут быть найдены в оригинальной работе [8.7].
8.2.1. Функции Иоста
Введем для вещественных k функции Поста F(x,k) и G(x,k) как решения
уравнения (8.4), нормированные следующими граничными условиями на
бесконечности:
lim F(x, й)ехр (-ikx) - I,
Х-> оо
lim G(x, k)exp(ikx) = I.
- оо
Условие b позволяет доказать аналитичность F(x,k) и G(x,k) в верхней
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed