Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
Мы не просчитывали, насколько широко применим этот формализм в случае m >
3. Недавно Калоджеро и Дегаспирес [8.10] получили новые результаты в этом
вопросе.
8.4. Обобщение на решеточные задачи
В этом разделе предлагается матричное обобщение МОЗР, которое возможно
также и в дискретном случае (решеточные задачи). Рассмотрим задачу на
собственные значения
L(n)^(n) = ^(n + 1) + 5(л)ф(л) + Г(л)ф(л- 1) = А/ф(я), (8.47)
где ф(л) есть m-компонентный вектор-столбец, а 5 (п) и Т(п) суть (m X т)-
матрицы. Далее предполагается, что 5(л)->-0 и Т(п)-*~1 при |я|-"-оо.
Уравнение (8.47) является разностным аналогом матричного уравнения
Шрёдингера. Обратная задача рассеяния для системы (8.47) изучалась Кейсом
и Кацем [8.11] и Флашкой [8.12] при m = 1. В общем матричнбм случае эта
задача не изучена.
В качестве примера нелинейного дифференциально-разностного уравнения,
интегрируемого методом обратной задачи рассеяния, связанным с системой
(8,47), рассмотрим следующую систему.
8.4. Обобщение на решеточные задачи
319
8.4.1. Системы Вольтерры
Рассмотрим систему уравнений
4>(я + О + Т(п) ф (п- 1) = Аф(/г), (8.48)
ф(/г) = ф(,г + 2) + Г(/г)ф(/г). (8.49)
Здесь точка обозначает производную по времени. Наложим следующие
граничные условия: \V(n)-*~cI, где с константа, при |п|->- оо. Условие Xt
= 0 приводит к равенству
Т (п) = Т (п + 1) Т (п.) - Т (п.) Т (п. - 1) (8.50)
и соотношению
W{n) = T(n + \) + T{n) + {c-2)I. (8.51)
Уравнение (8.50) содержит семейство систем Вольтерры. Простейший выбор
T(n) = Nn (8.52)
приводит к следующим уравнениям:
Nn = Nn(Na+l-Na_l). (8.53)
Эти уравнения были предложены несколькими авторами. Захаровым и его
соавторами [8.13] уравнения (8.53) были введены для описания спектра
ленгмюровских волн в физике плазмы.
Если в качестве Т (п) выбраны 2 X 2-матрицы с компонентами
Ти (п) = 1 + i(Mn - Mn-i) + ЛМ1"_, = Th{n),
(8.54)
Т12 (я) - Т2\ (я) = 0, Мп = Мп, то уравнение (8.50) дает
Мп - (\ + М2п) {Мп+\ - Mn-i). (8.55)
В более общей ситуации, если положить Ти(п) (8.54) равным
Тп (п) = 1 + 4 (" ~ I л/?^) Qn-i + т (<* + /V^F7^) Qn +
+ PQ/iQ/i-i> (8.56)
то из (8.50) получим
Qn = (l +aQ" + ,iQj(Qn+.-Qi.-i), (8.57)
при условии р = 0 или 4р - а2 > 0. Последнее условие гарантирует
положительную определенность 1 + aQn -(- рQrn. Очевидно, что уравнение
(8.57) содержит в качестве частных случаев уравнения (8.53) и (8.55).
320
8. Обобщенная матричная форма метода
8.4.2. Уравнения цепочки Тоды и нелинейные уравнения автодуальной сети
Рассмотрим систему уравнений
ф(п + 1) + S(")г|>(") + Т(п) Ф(п - 1) = Лф(п), (8.58)
ф(") = - Т(п)у!р(п - 1). (8.59)
Условие kt - 0 приводит к уравнениям
S{n) = T(n + l)-T(n), (8.60а)
t(n) = S (п) Т (п)- Т (п) S(n- 1). (8.60b)
Если положить
S(n) = -Pn,. Т (п) = ехр (Q"_, - Q"), (8.61)
то из уравнений (8.58) следуют уравнения цепочки Тоды [8.14] Pn=Qn> Р" =
ехр (Q"_, - Q") - ехр (Q" - Q"+,). (8.62)
В случае 2 X 2-матриц, если положить
5и (") = i [/"+,( 1 + IV") - /"( 1 - iV")] = Sh(n),
7'n(") = (l +^)(1 -Кп) = П2(п), (8'63)
S,2 = S21 = T\2 - T21 = 0, где In, Vn вещественные, то уравнения (8.60)
дают уравнения нелинейной автодуальной сети
in = (l + iDiVn-i-Vn), Ё* = (1 +Vl)(In~In^). (8.64)
8.4.3. Нелинейное разностное уравнение Шрёдингера
Рассмотрим систему уравнений
г|>("+ l) + S(n)^(n) + T(n)^(n- 1) = Лф(и), (8.65)
чЬ(л) = - ("+ 2) + с (п) ф (" + 1) + Я("Ж"), (8.66)
где _
( о i(Rn-1 - Rn)\
5 (я) = ^ /(/?"_, - /?") 0 )' 7'(") = (1 + 1/?"_,|2)/.
={'0 _?)¦ cw=L+1 + *"_, "*%¦"***')¦
(id-Rn-iRn + Rn-M 0 л
} V 0 -Ш+Rn-iRn-Rn-xRn)'
(8.67)
J
8.5. Заключительные Замечания
821
¦Условие Xt = 0 дает нелинейное разностное уравнение Шрёдингера [8.16]
^"+^n+1 + ^-1-2^+l^rt|2(^n+1+^n-1) = 0. (8.68)
Таким образом, нами было получено матричное обобщение метода обратной
задачи рассеяния на разностный случай. Хочется подчеркнуть параллелизм
дискретного и непрерывного случаев. Математические методы, применимые и
весьма полезные в непрерывном случае, оказываются столь же
работоспособными и в дискретном случае. Представляется, что
дифференциально-разностные аналоги интегрируемых нелинейных
дифференциальных уравнений интегрируемы.
В качестве примера, подтверждающего сказанное, рассмотрим уравнения
(8.41), (8.57). Гарднером и соавторами [8.1,8.18] метод обратной задачи
рассеяния был введен как линеаризация преобразования Миуры. Суть
сделанного ими такова. Подставляя
и = /ф,/(VnO " "/2Р (8-69)
в обобщенное преобразование Миуры (8.40), получим уравнение Шрёдингера
- + ?/цЧ> = W, А, = а2/4Р- (8.70)
¦С другой стороны, подстановка
Q"_, = /Ф(п)/(УфФ(л ~ 0) - (а + ? V?Z7^)/2P (8.71) в (8.56) дает
Ф(п+1) + Тп(п)Ф(п~1) = ХФ(п); Я=д/4 --у-. (8.72)
В каждом шаге метода имеются сходные уравнения в непрерыв-
ном и дискретном случаях.
8.5. Заключительные замечания
В этой работе были подведены итоги развития на настоящее время матричного
обобщения метода обратной задачи рассеяния. Я не утверждаю, что этот
формализм наилучший. Каждая формулировка метода имеет свои преимущества и
