Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
них следует, что поведение бумерона аналогично описанному ранее (с n± =
Б); если по = - 6 или
п0 = b, jo nJO = п0 и^КО =lo±b(t - t0); если ^ п0 ф ± В, то П (0 ф В и п
(/) Ф - 6 при всех (конечных) t, п (± оо) = ^ В,
9.4. Уравнение бумерона
339
5/(±оо) = ±Ь. При больших |/|?(0 = ?о + &1^ - /о| + + 0(ехр(-2р6|/|)). В
данном случае имеет место следующее утверждение: координата бумерона ?(/)
совпадает с положением (нерелятивистской) частицы единичной массы с
начальным положением ?(/о)=!о и начальной скоростью \t (/0) = - (Ь • п0),
движущейся во внешнем поле с потенциалом Ф (? - ?о),
Ф (*) = у Ь2 [1 - (Ь • п0)2] ехр (- 4рх). (9.78)
Если начальная скорость отрицательна (если начальная поляризация бумерона
такова, что (Ь • п0) > 0), то частица начинает двигаться налево с
уменьшающейся скоростью до точки поворота ? -lo -+- (4p)_1 In (1 - (b •
п0)2); затем она возвращается назад, уходя в конце концов на
бесконечность с асимптотически постоянной скоростью Ь. Если бумерон
начинает двигаться направо [(Ь • п0) < 0, то он продолжает движение с все
увеличивающейся скоростью, которая стремится асимптотически к той же
самой величине Ь. Заметим, что эта аналогия применима и к случаям n0 = -
b или п0 = b (в отличие от общего случая при этом бумерон не
возвращается, а движется с постоянной скоростью), при этом потенциал Ф(х)
в (9.78) обращается в нуль. Потенциал Ф(х) зависит от параметров бумерона
(его начальной поляризации и параметра р, определяющего его форму) и от
вектора Ь, но не зависит от величины а, которая влияет лишь на временную
эволюцию поляризации бумерона для конечных времен.
В другом специальном случае a b = 0 бумерон по-прежнему описывается
(9.62), (9.63), но поведение ?(/) и п(0 дается более простыми выражениями
| (/) = + (2р)-' In { 1 - ЯР5, (0 + I Я (Я + у) S2 (t) } , (9.79)
п (0 = |п0 - [Я 6 - (а х По)] Si (t) - -i- [п0 - aa - Я2рЬ +
+ X(aXb)]S2(/)}/{l-XpS1(0 + -j M*+y)S2(/)}, s2 (/) = (Я2- l)_l/2 sti[а(Я2
- 1)1/2(/ - /0)]" (9.80)
•S2(03==4 (A.2- I)-1 sh2[-^(A,2 - 1),/2(/ -/0)] при Я > 1,
Si(t) = a(t-~tQ), Si(t) = [a{t-ta)]2 при Я = 1,
Sj (0 = (1 - Я2)"1/2 sin [a (1 - Я2)1/2 (t - t0)l
S2(0 = 4(l-X2r1sin2[|-(l-X2)1/2(/-/o)] при Я < 1, (9.81)
a = (а • n0), P = (b • n0), Y ¦= (а X b • n0) = ± (1 - a2 - P2)'/2,
(9.82)
340
9. Нелинейные эволюционные уравнения
где X определяется (9.68). Следовательно, если начальная поляризация По
совпадает с одним из единичных векторов (0(л:)- 1 при л: > 0, 0(0) = 1/2,
0(лг) = 0 при х < 0)
п± = - {± А (1 - А2)1/2 0 (1 -А)а±(А2- 1)1/20(Л- 1)6 +
+ [0 (I - 1) + А20 (1 - X)} а X 6}Д, (9.83)
то он не изменяется во времени, п(/)= По, и солитон вообще не
движется (т. е. |(0 = Ы> если 1, и движется с постоянной скоростью ±у (т.
е. ?(0=?о±и(*- to)), если Я,>1, где
v = (X2-\)wbjX. (9.84)
Если начальная поляризация п0 не совпадает ни с п+, ни
с п_, то л(/) меняется со временем, отличаясь от п± при всех
конечных t. Если Х> 1, то поляризация стремится асимптотически к п± (т.
е. n(d=oo) = n±), если же X < 1, то поляризация изменяется периодически
(с периодом (2я/а)(1-Х2)~х/2).
Как и ранее, наиболее наглядное представление о поведении бумерона дает
замечание о том, что координата бумерона совпадает с положением частицы
единичной массы с начальной координатой |(^о) - !о и начальной скоростью
|<(^о) = -РЬ, которая движется во внешнем поле с потенциалом Ф(? - |о)>
(r)W=J (b/Xf ехр (- 2 рх) ([([(а2 + у2) X + у]2 + а2)/(а2 + у2)] X
Хехр(-2рх) - 2(1 +А,у)}. (9.85)
Этот потенциал стремится к нулю при *->-оо; он имеет единственный
отрицательный минимум в точке х = (2р)~х 1п(([(а2 + + у2)Х + у]2 + а2)/[
(а2 + у2) (1 + Яу)]}, если Ху > - 1. При х->-оо потенциал стремится к
плюс бесконечности. Случай а - 1 +Лу = 0, при котором потенциал
обращается в нуль, отвечает совпадению По = п+ или По = Л-. Общая энергия
частицы имеет простой вид
Е = Ф (0) + j Р2b2 = jv2 sign (X- 1), (9.86)
где v определено (9.84). Следовательно, энергия положительна при X > 1 и
бумерон приходит из правой бесконечности и уходит на нее, двигаясь
асимптотически с постоянной скоростью v. При X < 1 энергия частицы
отрицательна и она ведет себя как частица в потенциальной яме, колеблясь
вокруг положения равновесия |о + х (см. выше). Эти осцилляции, конечно,
описываются выражением (9.79). Они имеют период (2л/а) (1 -X2)~х/2,
Случай X = 1 соответствует движению частицы с нулевой энергией в поле с
потенциалом (9.85), которая также всегда приходит из плюс бесконечности
(или уходит на нее), но со стремящейся к нулю скоростью.
9.4. Уравнение бумерона
341
Заметим, что аналогия между движением бумерона и частицы во внешнем поле
(9.85) справедлива и в случаях, когда начальная поляризация совпадает с
п+ или п_, так как в этом случае потенциал (9.85) равен нулю тождественно
(более того, начальная скорость бумерона -рЬ стремится к нулю, если Ж 1).
Следует подчеркнуть, что для данного нелинейного эволюционного уравнения
(9.59) с а 6 = 0 существуют решения, включающие одновременно все
