Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
полуплоскости Im k ^ 0.
8.2.2. Фундаментальная система решений
Для вещественных к пары F(x,k)\ F(x,-k) и G{x,k)\ G(x,-k) образуют
фундаментальные системы решений уравнения (8.4). Имеют место соотношения
W{F*(x, к), F(x, k)} = -W{G*(x, к), G(x, к)} =2ikl,
W {F* (x, k), F (x, -k)) = W {G* (x, k), G (x, - k)} = 0, (8'6)
где
W (Г (x), Z (*)} = Г (x) Z' (x) - Г' (x) Z (x) (8.7)
есть вронскиан матричных функций Y и Z, а черта означает
комплексное сопряжение. Следовательно, G может быть представлено в виде
линейной комбинации F(x,k) и F(x,-k), а F(x,k) в виде линейной комбинации
G(x,k) и G(x,-k):
G (х, k) = F (х, -k)A(k) + F (х, к) В (к), (8.8а)
F (х, k) = G (х, - к) С (k) + G (х, к) D (к). (8.8Ь)
Для совместности соотношений (8.8) необходимо, чтобы было выполнено
B(k)D(k) + A(-k)C (к) = D(k)B{k) + C(-k)A (k) = I,
4{k)D(k)-\-B(- k)C{k)-C(к)В{k) 4- d(- k) A{k)"0, (8'9-
8.2. Обратная задача рассеяния
313
Матричные коэффициенты A{k), B(k), C(k), D(k) могут быть выражены через
вронскианы решений F(x,k)\ G(x,k) и их комплексно-сопряженные при
вещественных k:
A{k) = -W {Ff{x, -k), G(x, k)}/2lk;
B(k) = W{F*{x, k), G(x, k)}/2ik,
C{k) = W{G*{x, -k), F(x, k)}/2it, (8'10)
D(k) = -W {G* {x, k), F(x, k)}/2ik.
Из (8.10) следует, что
A(k) = C(-k), B(k) = -DT(k). (8.11)
Для комплексных fe(lmfe^O) матричные коэффициенты определим следующим
образом:
A(k) = -W {F* (х, - k), G (х, к)}/21к; B(k) = W {F* (х, к), G(x, k)}/2ik,
C(k) = W{G'(х, - к), F(x, k)}/2ik; D{k) = -W {G* (x, k), F(x, k)}/2tk.
(8.12)
Это определение совпадает c_ (8.10) на вещественной оси. Так как F, G, F*
(х,-k), G*(x,-k) аналитичны в верхней полуплоскости, то A (k) и C(k)
также аналитичны в верхней полуплоскости. Из (8.12) следует, что при
комплексных &(1т/г^:0) выполнены соотношения
A {k) - C*{- k)\ B{k) = - D* {k). (8.13)
Приведем формулировки двух лемм, которые будут использованы в дальнейшем.
Лемма 1. При вещественных k, det A (k) Ф 0.
Лемма 2. При |&|-*-оо
Л (Лг) = / + B{k) = 0{k~l)\
C(k)=J + 0(k~l)\ D(k)~0 (&')•
(8.14)
8.2.3. Связанные состояния
Связанные состояния определяются при тех k, для которых
det Л (Л) = 0. (8.15)
Если для данного kj условие (8.15) выполнено, то существует
ненулевой вектор а такой, что A{kj)а = 0. В этом случае суще-
ствует решение основной системы (8.1) такое, что
ф(*, kj) - G{x, kj)n = F{x, k,)B(k,)а. (8.16)
314
8. Обобщенная матричная форма метода
Из граничных условий (8.5) вытекает, что
ф(л:, kj) ->ехр(- ikjX)& при *->-<х>,
-*¦ ехр (ikjx) а при я-*оо. (8-17)
Следовательно, при k = kj{\m k/ ^ 0) у системы (8.1) имеется решение,
квадратично-интегрируемое на всей оси. Так как потенциал U(x) эрмитов, то
энергия k) вещественна, и тогда kj = i%j (где х/ - вещественное
положительное число).
Таким образом, связанным состояниям соответствуют в точности такие точки
k, Im kj ^ 0, Re&/ = 0, что deM(?/) = 0, и в которых тем самым A~'(k)
имеет полюс.
Как следует из леммы 1, deM (?) не равен нулю на вещественной оси. Более
того, из асимптотики (8.14) вытекает, что deM (&) отличен от нуля для
достаточно больших k. Следовательно, deM (?) может иметь лишь конечное
число нулей, что означает конечность числа связанных состояний. Таким
образом, мы приходим к следующей важной теореме.
Теорема 1. Все особенности матрицы A~x(k) в верхней полуплоскости Im k >
0 являются простыми полюсами. В окрестности каждого полюса kj = /ху- (х;
вещественное, положительное) матрица A~x{k) имеет вид
Л-'М-ЛМб-^Г' + ОО), (8.18)
где N/ Ф 0.
8.2.4. Уравнения Гельфанда - Левитана - Марченко
Представим функцию Поста в следующей форме:
оо
F (х, k) = ехр (ikx) I + ^ К(х, y)exp(iky)dy. (8.19)
X
Подстановка выражения (8.19) для F в (8.4) дает
~К{х, х) = - ~и (*), (8.20)
[~-&+w + u{x)]K{x> у)=0- (8-21)
Равенство (8.8а), согласно лемме 1, может быть записано в виде G(x,
k)A~'{k) = F(x, ~k) + F(x, k)R(k), (8.22)
где
/?(*) = B(k) A~' (k). (8.23)
Из (8.9), (8.11) легко вытекает, что R(k)== R*{-k). Матрица
R{k) будет называться матричным коэффициентом отражения.
Выведем уравнения Гельфанда - Левитана - Марченко. Фурье-преобразование
(8.22) и соотношения (8.16), (8.18),
8.3. Метод обратной задачи рассеяния
31S
(8.19) позволяют получить, что
оо
К(х, у) + Н(х+у)+ J К(х, z)H(y + z)dz= 0, х^у, (8.24)
X
где
+ 00 s
^ dkR (?)ехр ikx - i ^ R/expiik/X), (8.25а)
- оо /=1
Rf - Bikj) Nt. (8.25b)
Уравнения (8.24) вместе с соотношениями (8.25) и будут называться
уравнениями Гельфанда - Левитана - Марченко. Совокупность величин
{R{k), Щ, R,}, (/==1, 2, s) (8.26)
называется данными рассеяния для задачи (8.1). Уравнения Гельфанда -
Левитана - Марченко позволяют по данным рассеяния найти К(х,у) и затем
получить потенциал U (х) из (8.20).
Таким образом доказано, что обратная задача рассеяния для системы (8.1)
может быть решена, что позволяет применить МОЗР. При рассмотрении этой
задачи были сделаны два предположения о потенциале U(x). Условие Ь) нас
здесь не очень интересует, и мы не будем акцентировать внимание на нем.
