Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
t (параметры дискретного спектра, которые также необходимы для
восстановления Q, будут обсуждены ниже). Ясно, что потенциал Q(x,y,t),
полученный таким образом, будет решением НЭУ (9.25) с начальным условием
(9.26). Следует подчеркнуть, что указанная процедура сводит решение
задачи Коши для уравнения (9.25), которое является нелинейным, поскольку
операторы L и С зависят от Q (см. их определения (9.17), (9.18)) к
решению прямой и обратной задач, которые содержат только линейные
уравнения. Для прямой задачи необходимо решить уравнение Шрёдингера
(9.1), а для обратной - линейное интегральное уравнение (9.9). Более
того, эта процедура позволяет непосредственно исследовать временную
эволюцию любого решения Q(x,y,t) уравнения
(9.25), разбивая это решение на две части: связанную с непрерывным
спектром ассоциированной спектральной задачи и другую часть (которая
будет обсуждена ниже), связанную с дискретным спектром.
Подкласс нелинейных эволюционных уравнений вида (9.25), отвечающий выбору
ап - (К = Y = О и Po(z, /) = p0(z), был исследован Вадати в предыдущей
главе.
Ниже мы рассмотрим некоторые специфические уравнения вида (9.25); пока
отметим, что если а,, эрмитовы, то для того, чтобы матрица Q(x,y,t)
оставалась эрмитовой при всех /, если
330
9. Нелинейные эволюционные уравнения
она была эрмитовой в начальный момент времени to, достаточно, чтобы PY и
Y были вещественными, а ап чисто мнимыми [9.1]:
= Y = Y*. (9.29)
Эволюция параметров дискретного спектра. Временная эволюция дискретных
собственных значений, ассоциированных с (9.25) , дается уравнением
Pt (У. 0 = Y (4р2, 0 • Р (У. 0- (9-30)
Решение этого уравнения (в неявном виде) есть
Р (У. 0 =" Ро |у + J dt'\ [А р2 (у, 0, t'\ j , (9.31)
причем начальное условие
Ро (У) = Р (У, t0) (9.32)
должно быть найдено по начальному потенциалу Q0(x, у) = = Q(x, у, t0).
Заметим, что если переменные у отсутствуют
(т. е. у = 0 в (9.25) или в (9.23)), то собственные значения
ос-
таются постоянными. Если же у ф 0, то эволюция р(у, /) далеко не
тривиальна. В этом случае даже число собственных значений может
изменяться со временем. Детальный анализ этого случая здесь будет опущен.
Другой величиной, связанной с дискретным спектром, является матрица С(у,
t), определенная в (9.6) и входящая в (9.8). Ее эволюция описывается
уравнением
Ct (у, 0 = Y (4р2, /) ~ С (у, /) + С (у, /) \г (г, t) \2=ip, X X -Щ-
(4р2) + ап (4р2) [ог", С (у, /)] - 2/>pv {Ар2) {<yv, С (у, /)},
(9.33)
где р = р(у, t) есть решение уравнения, приведенного выше. Решение
уравнения (9.33) дается формулой
С (у, t) = ехр Ар ^ dt'Ро {Ар2, t') j X
Х { 1 ~ lj ^1г=4рг] 8Р ' ^Р°(У,) 1у'"
t " -1
+ jj dt'Y (4p2, t') I exp {(/ - /0) К(4p2) - 2pp" (4p2)] a") X to J
XQ,[V + \dt'y{Ap2, 0]X
X exp {(/ - J0) [- an {Ap2) - 2/>p" {Ap2)\ a"}, (9.34)
y +
9.3. Нелинейные эволюционные уравнения
331
где
С0 (У) = С (у, t0) (9.35)
должно быть найдено по начальному потенциалу Qo(x, у) = *= Q(x, у, /0).
Отметим еще раз, что в (9.34) р==р(у,/).
Если у = 0, то зависимость от у исчезает и уравнение (9.34) существенно
упрощается. Ввиду важности этого случая приведем окончательную формулу
С (/) = ехр ?- 4р j dt% (4р2, t') j X
X ехр {(/ - t0) [ап {Ар2) - 2{Ар2)] ап) ¦ С (/") X X ехр {(/ - to) [- а"
(4р2) - 2(4р2)] ап), (9.36)
где р теперь константа.
Следует подчеркнуть, что временная эволюция параметров р и С, описывающих
каждое дискретное собственное значение, не зависит от наличия других
собственных значений или непрерывного спектра. Хорошо известно, что
именно этот факт обусловливает замечательное поведение "солитонов", в
частности их стабильность. Кроме того, это объясняет особый интерес к од-
носолитонным решениям, так как они являются не просто интересным частным
решением исследуемых НЭУ, но представляют собой компоненту (которая
проявляется или не проявляется в асимптотике; см. ниже) широкого класса
решений.
Солитоны. Прямой путь получения односолитонного решения состоит в решении
(9.9) при R = 0 и при наличии одного собственного значения. В результате
получим
Q {х, у, t) = - 2р2 {ch [р {х -1)]} -2 Р. (9.37)
Здесь p - p{y,t) - это параметр, характеризующий величину дискретного
собственного значения, а Р = Р(у, /) есть матрица, удовлетворяющая
задающему проекционный оператор ограничению
Р2 = Р. (9.38)
Эта матрица связана с матрицей С (у, t) формулой
С = 2р exp{2pl) Р, (9.39)
которая совместно с (9.38) определяет ? = §(у, f)- Здесь вновь
psap(y,f).
Таким образом, видно, что для всех НЭУ, рассматриваемых в этой работе,
односолитонные решения имеют обычную (ch)~2 форму относительно переменной
х. Соответствующая величина | естественно интерпретируется как положение
солитона, а матрицу Р (удовлетворяющую проекционному свойству (9.38)),
которой пропорционален солитон, можно интерпретировать как
332
9. Нелинейные эволюционные уравнения
поляризацию солитона. Зависимость % и Р от переменных у и / определяется
связью их с р и С, (9.38), (9.39), и уравнениями для р и С, приведенными
