Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. коммутирующие матрицы ри Ri подобны постоянным матрицам poi и R0i
относительно одинакового преобразования (это следует из (7.145)!).
Сходным образом устраняются неоднозначности полиномиальных частей Р и R.
Из (7.184) следует, что там, где р\ - 0, Р и R являются каноническими.
Метод одевания позволяет нам по следующей схеме найти решение задачи Коши
по t для уравнений, описанных в разд. 7.9:
^ U-o -> "Ф*)l<-o->"S(A,, *)i<-o-*-S(A,, х, /)->ф(М М О-*
-*P(X,x,t). (7.188)
Аналогично может быть решена задача Коши по х. Более того, произвольно
выбирая G и S(X), можно построить различные точные решения
рассматриваемых уравнений. В частности, контур можно выбрать в виде
набора дискретных точек ц, (не совпадающих с полюсами Р и R\), и заменить
интеграл (7.168) на сумму
*-=5"+ I р-вд
Щ уЬ п
308
7. Метод обратной задачи рассеяния
Это - линейная алгебраическая система уравнений. Ее решение может быть
найдено в явном виде. Теперь очевидно, что
Sn(x, /) = ехр[Р0(цп)х + P0(pn)t]Sn Хехр[- Р0(цп)х- /?0(|О/];
В простейшем случае, в котором существует всего только две точки рь р2,
Pi - Р2 = р, решение системы (7.189) принимает вид
Формула (7.192) содержит большой класс физически важных решений уравнений
разд. 7.9, аналогичных односолитонным решениям.
Пусть контуром G является действительная ось - оо ¦< К <С. С оо. Далее,
пусть ф (к) и S(k) имеют абсолютно интегрируемые фурье-преобразования.
Тогда (7.168) равносильно уравнению
К (z - г') + F (z - z') + J К {z - z") F (z" - z') dz" = 0, (7.193)
Пусть F и К будут ядрами некоторых интегральных операторов, а Я- оператор
Вольтерра справа. Очевидно, что уравнение (7.193) связано с проблемой
факторизации оператора Р с ядром, зависящим только от разности
аргументов, если он задан в виде произведения вольтерровских операторов.
С другой точки зрения (7.168) решает задачу Римана о связи матричных
функций, аналитических на противоположных сторонах контура G. Введем
(7.190)
(7.191)
ф, =|i(pS, +S*)(v.* + SlS2y\
Mi2 = p(pS2-S2)(p2 + S2S1)-1.
(7.192)
оо
где
г
оо
- оо
оо
F(t) = i J S(k)el^dk.
(7.194)
- oo
(7.195)
Как известно
-ф(Л) = Ф (Я) - ф+ (А,),
и теперь из (7.168) следует, что
<р == 5 ~Ь Ф+ (1 -f- 2niS)
(7.196)
7.10. "Одевание" операторных пучков [7.31]
309
является линейным соотношением, связывающим аналитические матрицы ф±(^)
на контуре G. Теория матричной функции Римана в связи с уравнениями из
разд. 7.5 была детально разработана в [7.31], где показано, что имеются
определенные ограничения на вид Р0(К) и /?<,(*.)• Уравнение (7.168) можно
рассматривать как уравнение Гельфанда - Левитана, которое решает обратную
задачу рассеяния для операторов (7.172),
(7.173). Ясно, что для уравнений, допускающих введение L- А пары или L -
A - В триады, метод одевания, изложенный выше, является вариантом метода,
описанного в разд. 7.4.
ЛИТЕРАТУРА
7.1. Gardner С. S., Greene J. М., Kruskal М. D., Miura R. M. - Phys. Rev.
Lett. 19, 1095 (1967).
7.2. Ablowitz M. J., Каир D. J., Newell A. C., Segur H. - Stud. Appl.
Math. 53, 249 (1974).
7.3. Lax P. D. - Comm. Pure Appl. Math. 21, 467 (1968).
7.4. Захаров В. E., Шабат А. Б. - ЖЭТФ 61, 118 (1971).
7.5. Захаров В. Е. - ЖЭТФ 65, 219 (1973).
7.6. Wadati М. - J. Phys. Soc. Jpn. 34, 1289 (1973).
7.7. Захаров В. Е., Шабат А. Б. - Функц. анализ 8, вып. 3, 43 (1974).
7.8. Захаров В. Е., Манаков С. В. - Письма в ЖЭТФ 18, № 7, 413 (1973).
7.9. Захаров В. Е., Манаков С. В. - ЖЭТФ 69, 1654 (1975).
7.10. Каир D. J. - Stud. Appl. Math. 55, 9, (1976).
7.11. Calogero F., Degasperis A. - Lett. Nuovo Cimento 16, 425 (1976)
7.12. Calogero F. - Lett. Nuovo Cimento 14, 433 (1975).
7.13. Захаров В. E., Манаков С. В.-ТМФ 27, 283 (1976).
7.14. Hirota R" Satsuma I. -J. Phis. Soc. Jpn. 40, 611 (1976).
7.15. Ннжник Л. П. Нестационарная обратная задача рассеяния. - Киев: Нау-
кова Думка, 1973.
7.16. Шабат А. Б. - ДАН СССР 211, 1310 (1973); см. также: Захаров В. Е.
Метод обратной задачи рассеяния. - В кн.: "Теория упругости среды с
микроструктурой" под ред. Куниной И. А. - М.: Наука, 1975.
7.17. Bloembergen N. - Nonlinear Optics, a Lecture Note. - W. A.
Benjamin, New York - Amsterdam, 1965,
7.18. Манаков С. В. - Функц. анализ 10, 93 (1976).
7.19. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. - М.:
Наука, 1974.
7.21. Манаков С. В, -ЖЭТФ 67, 543, (1974).
7.22. Кадомцев Б. Б., Петвиашвили В. И.- ДАН СССР 192, 753 (1970).
7.23. Захаров В. Е. - ЖЭТФ 62, 1945 (1972).
7.24. Yaiima N., Oikawa М. Formation and Interaction of Sonic-Langmuir
Solitons (Inverse scattering method). - Preprint, Research Inst, of Appl.
Mech. Phys., Japan, 1976.
7.25. Захаров В. E. - Письма в ЖЭТФ 22, 364 (1975).
7.26. Захаров В. Е. - ДАН СССР 229, 1314 (1976).
7.27. Манаков С. В, -УМН 31 (5), 245 (1976).
7.28. Тахтаджян Л. А, -ЖЭТФ 66, 476 (1974).
7.29. Захаров В. Е, Тахтаджян Л А., Фаддеев Л. Д.- ДАН СССР 219 1334
(1974).
7.30. Каир D. J. A Higher Order Water Wave Equation and the Method for
