Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
обобщенными преобразованиями Бэклунда [9.1].
qt(x, t) = ia(d/dx, t)q(x, t),
(9.114)
q(x, /) = ехр
9.9. Нелинейные операторные тождества
347
9.9. Нелинейные операторные тождества
Линейное дифференциальное уравнение в частных производных (9.114) имеет
при (o(z,t) =-iz решения q(x,t) - f(x -f t), где f - произвольная
функция. Подстановка этого решения в (9.115) [с ca(z,t)=-iz\ приводит к
хорошо известному операторному тождеству
/(* + */) = ехр (г/-^)/(*). (9.118)
Отправляясь от (9.116), (9.117) вместо (9.115) (и от (9.25) вместо
(9.114)), можно аналогично получить целый класс нелинейных операторных
тождеств [9.1].
ЛИТЕРАТУРА
9.1. Calogero F., Degasperis А. - Nuovo Cimento (в печати); настоящая
работа в основном следует этой ссылке, где можно найти дополнительные
детали (включая доказательства всех приводимых результатов)
9.2. Calogero F., Degasperis А. - Lett. Nuovo Cimento 16, 181 (1976).
9.3. Calogero F., Degasperis A. - Lett. Nuovo Cimento 16, 425; 434
(1976).
9.4. Calogero F. "Generalized Wronskian Relations: a Novel Approach to
Barg-man Equivalent and Phase-Equivalent Potentials". В кн.: Studies in
Mathematical Physics (Essay in Honor of Valentine Bargmann), ed. Lieb E.
N., Simon B., Wightman A. S. (Princeton University Press, Princenton, N.
Y. 1976); Lett. Nuovo Cimento 14, 443 (1975); Nuovo Cimento 31B, 229
(1976); Lett. Nuovo Cimento 14, 537 (1975).
Calogero F., Degasperis A.,Nuovo Cimento 32B, 201 (1976).
10. МЕТОД РЕШЕНИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДФ И ЕГО ОБОБЩЕНИЙ
С. П. Новиков
10.1. Одномерные системы, допускающие
представление Лакса; их стационарные решения
Рассмотрим трансляционно инвариантное эволюционное уравнение вида
а-KM, ("'-¦%, й-~). (Ю.1)
где и - вектор-функция непрерывного переменного х или дискретного
переменного п; уравнение (10.1) инвариантно относительно трансляций по х
(или по п).
Определение 10.1. Мы скажем, что (10.1) допускает представление Лакса,
если существуют два оператора L и А, действующие на функции f(x) (или
/(я)), коэффициенты которых выражаются через и, такие, что (10.1)
эквивалентно уравнению L = [L, А].
Вообще говоря, операторы L и А задаются матрицами в некотором базисе
{//(*)} или {//(я)} в пространстве функций. В дальнейшем мы будем
предполагать, что эволюционное уравнение (10.1) и ассоциированный с ним
оператор L локальны. В непрерывном случае это означает, что правая часть
/С[ы] зависит только от конечного числа производных и(х), ..., и^(х) в
данной точке х, а ассоциированный оператор L является дифференциальным
оператором с коэффициентами, зависящими только от конечного числа
производных и(х), ..., и(?)(х) в этой точке. В дискретном случае
локальность означает, что К\и] и коэффициенты L для любого я являются
функциями от значений и на интервале определенной длины [я - A, n -f А].
Длина этого интервала называется порядком оператора L. Это требование
имеет смысл, только если переменная я может принимать бесконечное число
значений.
Обзор уравнений, допускающих представление Лакса, можно найти в [10.1].
Из всех этих систем нелокальными являются лишь системы Мозера [10.2] и
Калоджеро частиц на прямой с парным взаимодействием специального вида,
где у ассоциированного линейного оператора L все матричные элементы
ненулевые. В локальном случае (для матриц Якоби) ненулевые элементы
сосредоточены около главной диагонали в полосе конечной ширины.
10.1. Одномерные системы, допускающие представление Лакса 849
Из требований локальности и трансляционной инвариантности следует, что
(10.1) определяет поток (или динамическую систему) на любом трансляционно
инвариантном классе функций (быстро убывающих, периодических с любым
периодом, почти периодических с любой группой периодов и др.). Оператор L
действует на всех этих классах функций; его собственные значения могут
давать в принципе интегралы уравнений (10.1). Наша цель - изложить
некоторые основные методы изучения периодического и квазипериодического
случаев, развитые автором, Дубровиным, Матвеевым и Итсом (см., например,
[10.3]), а также Лаксом, Маккином и Ван Мёрбеке (см. [10.1]); более
детально эти методы изложены в обзоре [10.1].
Во всех случаях, когда может быть применен наш метод, имеется бесконечное
число локальных трансляционно инвариантных эволюционных систем вида
(10.1), скажем
й - Кт ["], т = 1, 2................ (10.2)
причем соответствующие потоки коммутируют друг с другом; исходное
уравнение (10.1) получается при т = 1. Все системы
(10.2) имеют представление Лакса L = [L, Ат] с одним и тем же L.
Самым известным примером является уравнение КдФ, где т d2 . , . .
.d3.~(d.d\.,d
L==-d^+"(x)> Л^-4^" + 3(и + + ЛДГ-
(10.3)
Уравнение КдФ имеет "высшие аналоги", где оператор Ат имеет порядок
2/п+1. Из дискретных систем локального типа наиболее известной является
цепочка Тода и дискретное уравнение КдФ. Эти системы, а также хорошо
известное уравнение "sine-Gordon", нелинейное уравнение Шрёдингера и
