Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
Соответствующая формула для коэффициентов отражения будет иметь вид
R' (k, t) = R (k, t) {[/ (- Ak2) + 2ikg (- Ak2))/(/ (- Ak2) -
- 2ikg (- Ak2)}. (9.101)
Этот класс преобразований Бэклунда интересен тем, что он имеет место для
всех уравнений (9.25) (и, более того, для (9.24)). Нет никаких
ограничений на вид функций / и g, связанных со структурой нелинейного
эволюционного уравнения. Хотя эти преобразования представляют собой малый
подкласс всех преобразований Бэклунда, они достаточно общие, чтобы
получить многочисленные важные результаты, которые вытекают даже из
самого простого варианта (9.100), отвечающего постоянным fug- Последние
преобразования удобно описать с помощью единственной константы р = -0,5
f/g. Соотношение (9.101) при этом будет иметь вид
0 = -?гт?Я(М). <9-102)
344
9. Нелинейные эволюционные уравнения
а преобразование Бэклунда -
Q'{x, t) = Q{x, /) -(2р)~'Г. (9.103)
Результаты, связанные с преобразованием Бэклунда, удобнее обсуждать с
помощью интеграла от Q. Введем матрицу
+ оо
W (х, t)= ^dx'Qix', t), (9.104)
X
которая удовлетворяет граничным условиям
W{+ оо, t) = Wx{± оо,/) = 0. (9.105)
На самом деле часто бывает удобнее записывать через W и нелинейные
эволюционные уравнения (9.25). Например, уравнение бумерона запишется
через W как уравнение в частных производных, в то время как для Q оно
имело интегродифферен-
+ оо
циальный вид. Аналогичное обозначение W' = ^ dx'Q'(x't I)
X
вводится для матрицы Q'(x, t).
Преобразование Бэклунда между W и W' (9.103) запишется в новых
обозначениях (см. [9.1]) как
W'x(x, 0 + Wх (х, 0 = - j W' (*, 0 - W (*. 01 X
X [4р + W' (х, t)-W (х, /)]. (9.106)
Полезно решить это уравнение в особом случае W - 0. Неслож-
ные вычисления приводят к односолитонному решению
W'(x, t) = -2p{l-th[p(x-l)])P, (9.107)
где
Р2 = Р. (9.108)
Константы интегрирования ? и Р, конечно, зависят от /. Эти зависимости
можно получить подстановкой (9.107) в (9.25). Получившиеся уравнения для
? и Р содержат только переменную t. Конечно, при этом получатся выражения
(9.48), (9.49).
9.6. Нелинейная суперпозиция
Из (9.102) легко вытекает, что два преобразования Бэклунда (9.106),
отвечающие параметрам pj и рг, коммутируют. Отсюда немедленно следует
[9.1] справедливость нелинейного закона
9.7. Законы сохранения
845
суперпозиции, характеризуемого формулой
(Pi - Л) [ИГ 12 -- Г0] + 7 {[Г,2 - Го], [Г, - Г2]} =
= -(Р1 + р2)[Г1-Г2], (9.109)
где Г0(х, t)-решение уравнения (9.25) (переписанного в терминах Г), Wi и
Г2 -решения того же самого уравнения, связанные с Г0 преобразованиями
Бэклунда (9.106) при значениях параметра р\ и р2 соответственно. При этом
Ti2 есть также решение того же самого уравнения, связанное с Гi
преобразованием Бэклунда с параметром р2 или связанное с Г2
преобразованием Бэклунда с параметром р\.
Этот результат может быть использован для получения из Г0 = 0 и двух
односолитонных решений Г] и Г2 двухсолитон-ного решения. Таким же
образом, добавляя каждый раз солитон, можно чисто алгебраическими
операциями получить много-солитонные решения [9.1].
9.7. Законы сохранения
Все нелинейные эволюционные уравнения, обсуждаемые в этой главе,
допускают бесконечную последовательность законов сохранения. Точные
выражения для этих сохраняющихся величин получим для следующего
нелинейного эволюционного уравнения
Qt (*, 0 = [А (/), Q (X, /)] + {В (0, Qx (X, /)} +
+ [Q(x, /), [W(x, t), В (t)]]. (9.110)
Здесь A(t) и B(t) суть произвольные А'-мерные матрицы.
В уравнении использовано обозначение (9.104). Уравнение бу-
мерона соответствует (9.110) при N = 2 и постоянных бессле-довых матрицах
А и В.
Сохраняющиеся величины даются [9.1] формулой
+ оо
ст = ~ \dxiv\W[m\x, 1)1 (9.111)
- оо
где матрицы Г(т) определены рекуррентным соотношением
W{m+X\x, t) = wT\x, /)+ Z Г(/,(*. t)Wim-l)(x, 0 (9.112)
при
Г <" (x, 0 = Wх (х, 0 == - Q (х, t). (9.113)
Нетривиальные законы сохранения получаются лишь для с2п+ь поскольку все
величины с четными номерами обращаются в нуль.
34$
9. Нелинейные эволюционные уравнения
Первые три интеграла имеют вид
*8 = - т tr | $ dx (2 [Q (*, О]3 + [Qx (х, t)f)
9.8. Обобщенная резольвентная формула
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в частных производных
где со (z, t) - целая функция переменной г. Решение задачи Коши для него
может быть записано в краткой форме с помощью "резольвентной формулы"
Несложно вывести аналогичную (хотя намного более условную) формулу для
нелинейных эволюционных уравнений (9.25). Для этого надо сравнить (9.97),
(9.98) (справедливые даже в том случае, когда fug зависят от t) с (9.28)
[9.1]. Получим
= expjz Jd/'M*2. /')J.ехр{(/ - /0)K(z2) + z$n(z2)]onV}. (9.117)
Операторы Л и Г определяются из (9.13), (9.14) при Q'(x)=* - Q(x, t) и
Q{x) = Q(x, tQ).
В заключение заметим, что сходным образом можно связать решение НЭУ вида
(9.25), вычисленное для времени t\ с решением другого уравнения того же
вида, вычисленным для времени t. Подобные преобразования называются
