Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
Если этот луч единствен, точка каустики считается иеосо-бой. Каустические
поверхности без особых точек называют простыми.
364
Лучевая картина в окрестности такой каустики показана на рис. 17.1. Общим
правилом является то, что простая каустика семейства лучей отделяет
область, куда лучи этого семейства ие попадают, от области, в каждую
точку которой приходят два луча: один, уже коснувшийся каустики, и
другой, только приближающийся к ией.
Многочисленные расчеты лучевых картин и связанных с ними каустик в
слоистых средах были проведены в связи с исследованием распространения
звука в океане и атмосфере, а также ионосферного распространения
Рис. 17.1. Лучевая картина в окрестности неособой точки каустики
радиоволн. В различных случаях каустики найдены аналитическими методами
для простых профилей скорости звука и численными - для более сложных
моделей сред. Значительное число примеров можно найти в [52, гл. 6], [1,
53, 57, 58]. Топология каустик, образующихся при отражении сферической
волны от слоистых полупространств с линейной зависимостью скорости звука
илн квадрата показателя преломления от глубины, а также ирн отражении от
двухслойной среды с постоянными в обоих слоях значениями градиента
скорости звука, детально исследована в работах [52, § 46], [74, 203].
Обзор результатов, полученных в других случаях, содержится в [151, § 13].
Неприменимость лучевых формул в окрестности каустики математически можно
объяснить сближением перевальных точек (значений qs, соответствующих
разным лучам) под интегралом (17.1). На самой каустике, согласно (17.3).
перевальные точки сливаются. Чтобы найти попе в окрестности каустики,
нужно получить равномерную асимптотику интеграла
(17.1), справедливую прн любом расположении заданного числа стационарных
точек. Для решения этой задачи применим метод эталонных интегралов,
изложенный в § 11.
В случае неособой точки каустики в (17.1) могут сближаться две
стационарные точки qi 2'. $ (<?i 2) = 0. На самой каустике обращается в
нуль и меняет знак в ее окрестности производная $"(q). Третья производная
*рП'(я) ^ 0 вблизи каустики. (В противном случае уравнение (17.2) для
стационарных точек имело бы больше двух решений в рассматриваемой области
пространства.) Стационарные точки будем нумеровать так, что V?(<у2) ^
ф(Яi) на озвученной стороне каустики. Из двух лучей, приходящих в точку
наблюдения, больший фазовый набег имеет луч, коснувшийся каустики. По
мере приближения к ней разность y(qi) - <^(<?i) стремится к нулю.
Эталонный интеграл с двумя седловыми точками (11.87) выражается через
функцию Эйри (о ее свойствах см. п. 3.5):
0= / exp[fp(sf +s3/3)] ds = 2^/np-ll3v(tp2i3). (17.4)
Седловые точки s = ± (- t)1 вещественны при t < 0 и чисто миимы при
365
t > 0. При t = 0, сливаясь, они дают вырожденную перевальную точку. Для
сведения интеграла (17.1) к эталонному положим р = к0 и сделаем замену
переменной q = q (s) согласно равенству
if(q)=v(st-ys3/3) +и. ^ = sgn <f!"(q). (17.5)
Следуя обшей схеме метода эталонных интегралов, параметры t и выберем
так, чтобы замена переменных переводила стационарные точки эталонного
интеграла в стационарные точки исходного: <2i 2 = <7(*1,2)" или
4,("l,j) = ±2/ э(-03/2 +SP0. "I,2 = ±"'(-01,J. (17.6)
Отсюда получаем
Vo = Г5Р(в1) + 5Р(ваЯ/2. f = - {0,75[v(4j)-V(4i)])j'3. (17.7)
Случай / < 0 имеем, когда разность фаз - <^(<?i) вещественна, i.e.
в точку наблюдения приходят два вещественных луча; случай t > 0 - когда
разность y(qr) - ^(<7i) чисто мнима, т.е. точка наблюдения находится на
теневой стороне каустики. При таком выборе параметров, как в
(17.7),производная
dqjds = v{t + s2 )jy (q) (17.8)
является регулярной и не обращающейся в нуль функцией s. В дальнейшем нам
понадобятся значения dqjds в стационарных точках. Вычисляя пределы по
правилу Лопиталя, из (17.8) находим
"'(*/) = I 2s//y>"(<?/)I1/2, /=1,2, t?=0,
в'(0) = | 2/v'"(eI)l1/3, ' = 0. (17-9>
Перейдем в (17.1) к интегрированию nos. Тогда p(r,z,zl) =
= (k0fr)ll2exp(ik0<p0 - nr/4) f dsФ(s) exp[ikov(st + s3f3)\. (17.10)
Функцию Ф(х) = F (q) dqjds представим в виде
Ф(х)= [Ф(Г1) + Ф(52)]/2 + [Ф(5|)~ Ф(х2)] s/2ii + K(s). (17.11)
Остаток R(s) обращается в нуль в обеих стационарных точках Sj,2. Поэтому
R (s) = (s2 +1) Ф j (i), (17.12)
гдеФ! - регулярная функция. При подстановке (17.11) в (17.10) интеграл от
первого слагаемого дает ty'tiyko, /), от второго - выражается через
btyujdt, а вклад третьего слагаемого интегрированием по частям приводится
к виду
/ ds(s2 + г) Ф, (s) ехр [ik0v(st + s3 /3)] =
= {ik0v)~l / ds&i(s)exp[ikQv(st+s3f3)\. (-17.13)
366
В результате получаем
p = (irlr)42kil6e\v[ikB<?0 -ftr/4] { [Ф(г,) + Ф(!2)] v(tkl13)-
-/(- "Г1/3*о,/3[Ф(*1>- Ф("2)] v\tkl'3)) (1 +О(к-0')]. (17.14)
Чтобы найти дальнейшие члены асимптотического разложения, интеграл
(17.13) нужно преобразовать так же, как (17.10).
Когда стационарные точки далеки, т.е. кУ \t\> 1, функции и и v в (17.14)
можно заменить асимптотическими разложениями (3.107) и (3.108). Сохраняя
