Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
системы трех иррациональных алгебраических уравнений, для определения X,
Y, iр0 целесообразно вместо подстановки в (17.38) громоздких выражений
(17.40) перейти к уравнениям, содержащим симмет-
з
рические функции корней [146, § 1.6] Ап = 2 s", которые выражаются через
целые степени X и Y. Первое искомое уравнение получается суммированием
трех уравнений (17.38), второе и третье - суммированием соответственно
квадратов и кубов исходных уравнений. Входящие в результат
378
величины А о, A i, . . . , А ц легко вычисляются лри помощи рекуррентной
формулы
An + i= -XAn_if2~YAn -г/4, л = 2, 3,; А0 =3, ^4, = О, Л2 =-ЛГ,
(17.43)
вытекающей из (17.41). Действительно, з з
0= 2 5"25,5Мя+1 + (s,Sj + S3S3 +SiS3)yl"- 1 -
S,SjS3yl"_2 =
/-I '/=1 = ^" + l +ЛГ^"_,/2 + К4"_2/4.
После простых выкладок иаходнм
i^o =fi, + vX2/6, (17.44)
21XY2 =X4 - 24Й2, (17.45)
(1/288)2Г6 + (15/64)2f3 Г2- (81/256) Г4 = B3, (17.46)
где параметры
Я" - */з S *(*,), Й2=1 И*/)-*]2. й3-1 А13
/=1 /=1 /=1
(17.47)
вещественны как при вещественных ^ (<?/), так и в случае ip(<?2) ~<Р*
0?э)-Подставляя (17.45) в (17.46),получаем
(Н-ЭЧ**(r)[г?гГ
(17.48)
Уравнение (17.48) эквивалентно двум квадратным, причем все вещественные
решения дает уравнение
/ Х2\г fl X2 1 -___
( - ) -sgnB3v - (fi2 + 0 - + - (2 Q -Вг- 2 s/B\ - QB, + QT) = 0.
V 4 / 3 4 6
(17.49)
Его коэффициенты являются непрерывными функциями параметров В? и Вз-
Физический смысл имеют неотрицательные значения Л-2. Их дает формула
,*2 h~
" = 2sgnB34/- № +Q) + 2s/-(2B2-Q + 2s/B,
2 QB2 + 0).
(17.50)
По известному значению -Y2 величина определяется из (17.44), а У2 - из
(17.45), если X2 Ф 0. При X2 = 0 из (17.46) следует, что У2 = = 16(-
53)^2/9. Знак Y, как мы видели выше, несуществен. Что касается знака X,
то его можно определить при помощи (17.45): sgnY = = sgn(Y4 - 2452),
Исключением будет только случай X4 = 2452, соответствующий Y = 0. Здесь
для определения знака X приходится обратиться к исходным уравнениям
(17.38) и (17.39). В рассматриваемом случае
X = -(24fl2)*'4, если все три значения <i(<7/) вещественны, н X -=
(24В2)1/4,еслиуг(<72) = <?* (<7з)-
После замены переменных q = q(s) интеграл (17.1) принимает вид
+ 0*
р = (ко/г)'12exp(ik<,ipB-/я/4) / <fs(r)(s)exp[/fc0>'(s4 + Xs2 + ft)],
(r)(s)sF(<,)d4/dj. (17.51)
Как обычно, выделим в Ф (s) существенную при интегрировании часть:
,(s-s2)(s-s3) , (s-s,)(s-s3) ,
Ф№ = Ф($,)-------------------- +Ф(тг)----------------- +
(si-Jj)(si-*а) (s3-s,)(s2-s3)
(I - s,)(s - s2)
+ ФЫ7 4т 4 +"". (17.52)
(S3 -Si)(s3 -St)
Остаток R является регулярной функцией s н обращается в нуль в точках
s1>23. Поэтому ретуляриЫ1 будет и функция R. (s) такая, что
"(s)=4(s-s1)(s-s2)(s-s3)",(s) = (4s3 +2Xs + Y)R,(s). (17.53)
Интегрируя по частям, находим
+"о
/ ЛЛ($)ехр[/&0*Ч^4 + Xs2 + 5^)1 =
+ оо
si(kov)~l / Л/?! (s)exp[ifcoy(s4 + Xs2 + У*)]. (17.54)
Подстановка (17.52) в (17.51) при учете (17.36) н (17.54) дает (v = 1): Р
= (Wr2 )1/4 ехр (/toipo - /я/4) {Di 1(к101г X, fc03/4 Г) +
+ ik^ll*D2IY(kll2X,k^ Г) + ikoU2D3Ix <кУгХ, kVA 10)[1 + 0(ki')].
(17.55)
Прн у = - 1 функцию / в (17.55) следует заменить на комплексно-
сопряженную величину /*, 1Х - иа (-/*),/у - на (-/у). Коэффициенты/)ь2,з
равны
7>1 = [(r)(s3)s2s3(s3 - s2) + Ф(s2)s2s3(Sj s3) + Ф(s3)s2s2 (s2 - Sf)] X X
f(si -s2)(s2 -s3)(s3 -s,)]-1, (17.56)
7*2 = №(si)(sl - s|) + (r)(sr)(sf -s|) + (r)(s3)(s| - sf)] X X [(si - s2) (s2
-s3)(s3 -s,)]-1,
°3 =[(r)(Si)($T -S3) + (r)(S2)(S3 -Si)+ Ф(S3)($! -S2)1 X X I(S1 - s2)(s2 -
s3)(s3 - S,)]_I.
Здесь D12 3 являются медленно меняющимися функциями координат точки
наблюдения и ие зависят от к0. Они не имеют особенностей иа каустике. В
ее точке возврата, как легко проверить,
Z>i =Ф(0), D2 = -Ф'(0), D3 = -0,5Ф"(0),
360
Следующий член асимптотического разложения р можно получить, заменив Ф(^)
в (17.5$) на Ф(5) +1 (&о*0_1Л 1 (s).
Вблизи каустического острия (X = О, У = 0) в (17.55) доминирует
слагаемое, пропорциональное рх. Поэтому представление об амплитудной и
фазовой структуре поля в этой области можно получить по рис. 17.3 и 17.4,
где каустика показана штриховой линией. Интенсивность звукового поля при
X = Y = 0 пропорциональна большому лараметру k)j2. Она значительно выше,
чем в иеособой точке каустики, где \р\2 м кУъ. Мы видим, что максимум
интенсивности расположен не в самой точке возврата, а при У = 0, кУ2Х * -
2. Интерференция тройки лучей слева от каустики на рис. 17.3 и 17.4
обусловливает неравномерность поля в этой области, Справа от каустики
через каждую точку пространства проходит лишь один луч, и поэтому поле
изменяется в основном монотонно, Все входящие в соотношения (17.55)
величины: у?0, X, Y, r~lf2D 1>2 3 ~ ПРН учете равенства Ф(*/) = F(qj)\2(X
+ 6sj) /V" (cjj) |" и формул (17.50) и
(17.40) выражаются через Ви F(qf) |гу (4/)|-1^2, / = 1, 2, 3, т.е.
через фазы и амплитуды трех лучей. Можно показать, что при удалении от
точ-ки X = У = 0 асимптотика (17.55) переходит в сумму асимптотики
