Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
в них только главные члены, при учете (17.7) и (17.9) получаем для / < 0
р *= (2ir/r)42 iFfa^eyiviiko^q!)] I
+ F{qi) exp - *V/2] I г'("2)Г1/2 )• (17.15)
Эта асимптотика в точности соответствует результату, полученному в п.
16.2 методом перевала. Мы видим, что вдали от каустики на ее озвучен* ной
стороне акустическое поле является суммой двух лучевых слагаемых;
fcoi(4i,2) представляет собой геометрический набег фазы вдоль лучей. Луч,
соответствующий стационарной точке qt) целиком находится в области
применимости геометрической акустики. Для комплексной амплитуды поля на
нем (17.15) дает обычное геометро-акустическое выражение. Луч,
соответствующий q2, коснулся каустики. Как видно нз (17.15), пребывание в
области неприменимости геометрической акустики отразилось только в
дополнительной потере фазы тг/2.
В случае, когда t > 0, кУ31 > 1, т.е. на теневой стороне каустики,
получаем из (17.14) н (3.108)
рx(S) ф^' *г 1 /4е*р [ ik°'p° ~~з к°'311 ~т)=
Я"1)1'/(<?1)Г,/2ехр [lioY'toi)--^-] ¦ (17.16)
Поле мало и экспоненциально убывает при удалении от каустики. Из двух
комплексных стационарных точек вклад в поле дает та, где Im^((ji) > 0. С
точностью до слагаемого (- тг/4) фаза поля та же, что и y(qj^) при t = =
0, т.е. в соответствующей точке на каустике.
Область | / ко 2^3> где нельзя воспользоваться асимптотикой функции Эйри,
- это неограниченно сужающаяся с ростом частоты окрестность каустики. В
ней I I ^ 1. и медленно меняющиеся множители при и и и'
в (17.14) можно заменить их значениями на каустике, т.е при q = qQ s =
<?( 0):
Ф($!) + Ф(х2) 2F(q0) q'(0),
s;1 [ф(5,) - ф(52)] Ж 2F\q0) ["'(0)]2 + 2F(q0) q"(0).
Согласно (17.3), нмеемг((7) =r(q0) +0,5r" (q0) (q - q0)2 +0((q - 4o)3).
Используя это равенство и (17.7), для аргумента функции Эйри получаем
2kllr"(q0)\43[r-r(q0)]. (17.17)
Таким образом, в области неприменимости геометрической акустики поле
367
описывается локальной асимптотикой
] } (1 +0(*5')1- (П.18)
В фигурных скобках доминирует первое слагаемое. Учет второго слагаемого
позволяет рассчитывать поле в окрестности каустики с относительной
погрешностью, равной погрешности первого приближения геометрической
акустики вдали от каустики. Это слагаемое существенно для волн умеренных
частот. Из свойств функции Эйри следует, что при / < 0 поле имеет
осциллирующий характер. Максимальное значение | р | достигается в
озвученной области вблизи каустики при k%l3t - 1,02. При t > 0 поле
монотонно спадает. В окрестности каустики интенсивность звукового поля
значительно возрастает (пропорционально большому параметру к^3), ио
остается конечной. Фактически выражением (17.18) нужно пользоваться
только в малой окрестности каустики, а вне ее - использовать формулы
лучевого типа. Сравнивая значения функции Эйри и и главного члена ее
асимптотики для больших значений аргумента, легко убедиться, что сшивка
решений при kV3t * - 1 дает относительную погрешность 4%, а прн ko3t = -
3 - уже 1,25%. Несколько выше погрешность сшивки на теневой стороне
каустики. При kV3t = 1 она составляет 9%, а при kl!3t = 3 погрешность
равна 1,8%. Об экспериментальном подтверждении формулы (17.18) см. [26].
С каустикой рассматриваемого вида мы уже встречались в п. 9.2, где
объектом исследования было звуковое поле с гармонической зависимостью от
горизонтальных координат. Для такой волны лучи параллельны, поскольку
характеризуются одним н тем же значением q, и каустик, согласно (17.3),
представляет собой поверхность z * const, т.е. плоскость (горизонт)
поворота.
Чтобы рассчитать поле на каустике н в ее окрестности по формуле
(17.14), совсем необязательно предварительно иметь интегральное
представление (17.1). Пусть нам известны геометрические набеги фазы
*о0(<?i,2) и амплитуды поля на даух лучах dli2 = (2-njr)l/2F (qii2)X
Х|гЧ<?1,2) Г1^2 (см. (17.15)). Фаза к0<р0 и аргумент функции Эйри
выражаются через геометрические набеги фаз формулами (17.7). Выражая Ф
(s1>2) через с помошью (17.9), получаем при / <0
р - kl!6exp[iko#Q - /тг/4] [Au(tkl!3) - ik0 1 !3Bv\tkVэ)] [1 +O(fc01)],
Коэффициенты Лий принимают конечные значения, хотя и являются
произведениями стремящихся к нулю н к бесконечности величин. Соотношение
(17 19) позволяет вычислить поле на озвученной стороне каустики, где в
каждую точку приходят два луча. На теневой стороне из-за быстрого
спадания поля представляют интерес только весьма малые значения t% В этой
А = № + <?,) (- г)1 !\ в = № - аг) (- г)'1 /4.
(17.19)
348
области значения плавных функций координат: <р0у t, А н В - могут быть
получены экстраполяцией с озвученной стороны. Таким образом, решение,
найденное в приближении геометрической акустики, являясь само по себе
неудовлетворительным в окрестности каустики, содержит, тем не менее, всю
необходимую информацию для описания волновой картины в этой области.
Условия применимости полученного выше равномерного асимптотического
разложения поля в окрестности каустики состоят, во-лервых, в требованиях
