Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
величина Ah = - (~i)1^2At + (Vt)7/2(- t)^2 стремится к бесконечности при
t -* 0. Поэтому на каустике обращаются в бесконечность функции А'-р X)2t
входящие в уравнения переноса для амплитуд
372
и сами амплитуды d^\, причем порядок сингулярности тем выше, чем больше
/. Соотношения (17,26), (17.28) как бы выделяют в эйконалах регулярную
(/>0) н имеющую корневую особенность (Л) части. Коэффициенты уравнений
для амплитуд (17.27) не имеют особенностей на каустике. Поэтому (17.27)
приводит к регулярным решениям Aj (г), В, (г). Если разность эйконалов
для диух лучей, приходящих в точку наблюдения, при приближении к каустике
стремится к нулю не по закону | г - r(q0)|3^2, как в рассмотренном выше
случае (см. (17.17)), то функция t (г), вообще говоря, теряет
регулярность, и для построения высокочастотной асимптотики поля нужно
брать отличную от (17.20) исходную форму решения. Такие ситуации
возникают в окрестностях более сложных каустик, о которых речь пойдет
ниже.
Строгое математическое обоснование метода эталонных функций при
построении локальных асимптотик дано в работах (20, 319]. В рамках
рассматриваемого подхода (как правило, на физическом уровне строгости)
решено большое число задач (см. (36, 147, 150, 205-211, 264, 280, 401,
432, 441, 442]). В качестве эталонных наряду с традиционными специальными
функциями использовались упомянутые в § 11 новые специальные функции, а
также другие функции, определяемые своими интегральными представлениями
вида (11.1). Читателю, желающему подробно ознакомиться с методом
эталонных функций, следует обратиться к книге [19].
Этот метод с успехом используется также для асимптотического решения
обыкновенных дифференциальных уравнений [420, 443]. Рассмотрим в качестве
примера звуковое поле волны с гармонической зависимостью exp(ikoqx) от
горизонтальных координат в окрестное(tm) точки поворота в слоистой среде.
Эта задача с других позиций рассматривалась в п. 9.2. Решение будем
искать в виде (17.20). Заметим только, что, если отказаться от требования
ограниченностир во всем пространстве, функцию v в (17.20) можно заменить
на обшее решение уравнения Эйри а}и + а^и (см, п. 3.5). Эта замена не
сказывается на справедливости соотношений (17.25) -
(17.31). Характер влияния движения среды и стратификации плотности на
поле вблизи точки поворота был выяснен в § 9. Поэтому здесь мы ие будем
принимать эти факторы во внимание. Обозначим zr горизонт поворота : п
(zr) * q. Для определенности примем, что п (;гг) > q при z > zr.
В рассматриваемом случае амплитуды Л}-, Bj, зависят только от
вертикальной координаты z; лучевые решения - это решения в приближении
ВКБ (см, § 8):
01,2 =qx* I \/я2 - Я2 dz, d^-d^ = С(п2 - q2)~1^4, С = const.
*' (17.32)
Из формул (1728), (17.31) получаем
I 3 z | 2/3
Ч>0 = qx, t = - / ф2 - q1 dz\ spi(z, - z),
12 г. I
A0 =2C(-.r)1'"V -?2Г,/4. Bo = 0. (17.33)
Если n (zr) Ф 0, to t = 0(z - Zy) и Д0 принимает иа горизонте поворота
373
конечное значение. В противном случае иужио брать отличную от (17.20)
исходную форму решения. Поскольку - VBjV'-po ~ 0, Д"ро = О,
уравнения (17.27) для амплитуд^ и В( расщепляются:
Itt'B'f + Bj(tt')' =А*Н ь 2 t*A\ +Af t" = - В)_,. (17.34)
Штрихом здесь обозначены производные по z, Поскольку Во = 0, второе из
уравнений (17.34) дает А! = 0. Тогда из первого уравнения (17.34)
следует, что Вг = 0 и тд. Вообще, А2/+1 н B2j = 0, / = 0, 1, 2, . . .
Строго говоря, соотношения (17.34) определяют амплитуды Aj, В}- с
точностью до произвольных решений соответствующих однородных уравнений.
Мы предполагаем, что на некотором горизонте заданы нулевые начальные
значения Аг}+1, &2}' Это имеет место, например, при падении плоской вопны
на слоистое полупространство. В общем случае А\ (z) = const * А0 (г), где
значение коистангы должно выбираться так, чтобы удовлетворить граничным
условиям.
Таким образом, равномерное асимптотическое разложение звукового попя при
наличии горизонта поворота принимает вид
р(к0> г) = const • fco^exp^&o*?*) {[ckjuC/Ato^3) +
+e,u(/t^3)] ? (-*i)~U2l-
/ = о
- 4'*[e,u'(f*3'3) + в,и'(г*§/3)] +? (- tSr'By+i) .
(17.35)
/ = о
Главный член в (17.35) в точности соответствует полученной методом
эталонного уравнения формуле (9.24). Учет следующего члена,
пропорционального ко /3i?i, при |/&о/3|.^1 (когда и - 1, и - 1) дает
поправочный миожитепь 1 + 0(kZ4f3). Когда | ГАго^3 I ^1, этот множитель,
согласно (3.107). (3.108), равен 1 + О(ко *). При необходимости амплитуды
i?2/+b -^2/ старших пргё>пижений можно легко последовательно отыскать из
уравнений (17.34).
Аналогично может быть построена равномерная асимптотика звукового поля с
гармонической зависимостью от горизонтальных координат в среде с двумя
горизонтами поворота. Для этого в исходной форме решения (17.20) вместо
функций Эйри нужно использовать функции параболического цилиндра. Главный
член асимптотики совпадает с (9.37), а коэффициент при производной
эталонной функции будет пропорционален ко'2.
