Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
dq .
N = 0,1,2,... (16.43)
Согласно (16.40) н (12.36),величина
-~4(z) = " / (л2 -q1yl:1dz
oq z_
есть горизонтальное расстояние, проходимое лучом с углом выхода из
источника 0о * arcsin q иа пути между уровнем z и нижней точкой поворо-
362
та; величина -9w0 jbq равна половине длины цикла луча35(0(r)). Соотношение
(16.43) является, таким образом, уравнением лучей, соединяющих источник и
приемник. Их взаимное расположение, соответствующее различным комбинациям
знаков в (16.43), показано на рис. 16.2.
Рассмотрим подробнее, например, семейство лучей, отвечающее случаю I - 1.
По формулам (16.40), (16.43) получаем *>
z,z0) - / q(n2~q2) l/2dz + т2)(вй)у *<
(16.44)
*+
3)=- 2 / q(n2 -q2)~ll2dz, q = sin0o-
Внутри семейства лучи различаются числом полных циклов т. Эйконал на луче
(16.44) равен
*> 2+ *> *+
ф ~ ( / +2т f )п cos~l6(z)dz = ( / +2т f )п2(п2 - q2)~ll2dz.
*< Г_ *< Z_
(16.45)
Вклад стационарной точки qa - sin(H> в асимптотику интеграла
(16.42) находим по формуле (11.32):
м = zi [ tg a0p(z>/P(z0> /| ьг_ n1/2 х Р 4тг L г cos в (z)n(z) /| bq
|J
X ехр ji ^ к0ф - пт + - ^1 - sgn ^^]}- (16.46)
Значение brjbq берется при q = sin в0. С точностью до множителя (-
1/4тг), обусловленного различием в нормировке силы источника, амплитуда
р^ совпадает с рассчитанной в п. 12.3 амплитудой поля на луче (12.39).
Она стремится к бесконечности при приближении к точке, в которой brjbq =
0. Ниже, в § 17 будет показано, что эта точка лежит на каустике. Согласно
(16.46), фаза р в точке касания лучом каустики изменяется скачком на
тг/2. В общем выражении (16.27) этот эффект описывается изменением знака
якобиана ?(г) на каустике. (Отметим, что в неподвижной слоистой среде
якобиан (16.26) простым образом связан с brjbq: D(t) =* = v^rq'1 brjbq.)
При m = 0 фаза p ^ совпадает с к0ф. С ростом т разность фазы и kQ ф
возрастает на тг/2 при каждом касании каустики.
Аналогично изложенному выше можно получить результаты геометрической
акустики в качестве высокочастотной асимптотики точного интегрального
представления поля в приповерхностном волноводе [52, § 44], в
полупространстве со свободной границей и одним минимумом скорости звука
[8] и в других случаях. Если при заданном расположении источника в
приемник не попадает ни одни луд* f.e. в интегральном представлении нет
вещественных стационарных точек qs < 1, то геометрическая акустика дает
нулевое значение поля р(г, л0) = 0 и нуждается в уточнении. Последнее
также можно получить нз интегрального представления поля [52, гл. 9]. Об
условиях применимости геометрической акустики см.
363
(52, § 45], [151, § 10]. Модификация лучевого метода, сохраняющая
применимость в окрестности каустики, излагается в следующем параграфе.
§ 17. Асимптотика поля в окрестности каустики
В этом параграфе мы продолжим исследование высокочастотных звуковых полей
в плавно-слоистых средах. Будем исходить из интегрального представления
p(r,z,*,) = (-У е "/4 ТфП:,!,,,).*'*
' г > - (17.1)
<p = qr + w(z, z!, q).
Как мы виделн в $ 16 (см. (16.32) и (16.42)), акустическое давление,
создаваемое в неподвижной слоистой среде точечным монохроматическим
источником звука достаточно высокой частоты, представляется выражением
(17.1) или суммой таких выражений, где г - горизонтальное расстояние
между источником и приемником, z и z t - их вертикальные координаты, к0 -
значение волнового числа в фиксированной точке слоистой среды, k0q имеет
смысл горизонтального волнового числа элементарной гармонической (по
горизонтальным координатам и времени) волиы, из которых складывается поле
точечного источника.
Величина к0 в (17.1) является формальным большим параметром (фактически у
имеет размерность длины, и истинный большой параметр задачи безразмерен).
Если функция F (<7) ие имеет особенностей, перевальные точки qs
изолированы и значения </? (<7,) вещественны, то асимптотику звукового
поля можно получить методом перевала, причем вклад в р перевальной точки
qs представляет собой звуковое поле на луче, задаваемом уравнением (см.
п. 16.2)
г = '•(Z, г,, q,) = - 0w/3<f), = . (17.2)
Величина qs связана с углами скольжения луча на горизонтах источника и
приемника соотношениями kQqs = fc(Zi)cosxi = fc(z)cosx-
17.1. Поле в окрестности неособой точки каустики. Лучевые формулы дляр
теряют смысл, когда
'¦'№) s Эг(г, г,. qs)lbq = - (d2w/dq2 ),=<,, = 0. (17.3)
С геометрической точки зрения уравнения (17.2) и (17.3) определяют
огибающую семейства кривых (17.2), зависящих от параметра qs [146, §
17.1]. Огибающую семейства лучей называют каустикой или каустической
поверхностью. Определяя из уравнения (17.3) величину qs как функцию z HZi
и подставляя ее в (17.2), можно получить уравнение каустики в виде г = rc
(z, z j). Для точечного источника в слоистой среде каустика является
поверхностью вращения с вертикальной осью симметрии, проходящей через
источник. Каждой точке каустики соответствует определенное значение qs>
характеризующее в то же время и луч, касающийся каустики в данной точке.
