Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
представляющем собой уравнение эйконала в движущейся среде. При Vo * 0
оно переходит в уравнение (16.2). Вводя волновой вектор q s k0vy
соотношение (16.16) можно переписать в виде
со = q(r)c(r) + q(r)v0(r)y (16.16а)
совпадающем с дисперсионным уравнением (132) звуковых волн в одно* 23*
355
родной диижущейся'среде. Этого, конечно, следовало ожидать, поскольку в
лучевом приближении среду можио считать локально однородной. Для
групповой скорости звука = dcojdq из (16.16а) получаем
cg = v0 +cvfv. (16.17)
Аналогичное соотношение для слоистой среды было получено в п. 8.1. Для
решения уравнения эйконала в качестве гамильтониана возьмем
г) = 0,5[у2 - с~2(с0 - v0v)2]. Из (16.5) вытекают дифференциальные
уравнения луча в движущейся среде:
dr/dr = vcg/c, (16.38)
dvjdr = 0,5 (с0 - vo^}2 Vc'2 - c-2(c0 ¦"Ў<>*') [(И7)у0 +v X rot v0].
(16.19)
Мы видим, что касательная к лучу в каждой точке параллельна cg. При v0 Ф
0 луч, вообще говоря, не ортогонален волновым фронтам ф= const. Элемент
длины дуги луча ds = \dr \ ~ vc%c~xdr. Эйконал вычисляется по формуле
(16.6):
т $
ф(т) = ф(т0) + / vcgvc^dr * 0(ro) + / vc9c?ds. (16.20)
то 10
Для вывода уравнения переноса в движущейся среде следует приравнять
члены, не зависящие от к0у в уравнениях, полученных при подстановке
(16.3) и (16.14) в систему (1.6)-(1.8). Опуская простую, но длинную
выкладку (она подробно описана в [32, § 7]), приведем результат: div
(А1с%) = Al(cgV)ln pvc3. (16.21)
При помощи (16.18) выразим производные от А\ через dfdт. Тогда
(c)ЧтйО+Ш??)=о- (i6-22)
Это уравнение вполне аналогично уравнению переноса в неподвижной среде в
форме (16.30). Применяя к (16.22) формулу Лиувилля, находим
WiVP-K2(t)?>0-o) 1,/2 Ао(т) - , , 2, а, 'П; С ^o(i-o). (16.23)
L р(т0)У (t0)c2(t0)D(t) J
Здесь D(t) - якобиан (36.11) перехода от декартовых координат к лучевым.
Физический смысл полученного результата состоит в том, что в нулевом
приближении геометрической акустики поток мощности в лучевой трубке
сохраняется вдоль луча. Когда А0(т) найдено, амплитуды скорости частиц н
колебаний плотности в звуковой волне вычисляются по формулам (16.15).
Проиллюстрируем вычисление звукового поля по формулам (16.20),
(16.23) на примере точечного источника в слоистой среде с
горизонтальным течением. Будем предполагать для простоты Ivo^l < Cq.
Обозначим rL = (х, у, 0). Согласно (16.19) и (16.36), имеем Vj. = const,
v3 (г) = ± [(Со - V" Vxfc~2 ~ v\]1/3.
Используя эти равенства, легко вычислить эйконал и найти законы
преломления нормали к волновому фронту и касательной к лучу (см. п. 8.1).
356
Из (16.18) получаем dr± fdz - (w0/c + v^)fv3. Подставляя сюда формулу для
v3 с верхним знаком, находим явное уравнение луча на восходящем участке
траектории (ср. (12.36)):
' dz (eo-VoKjVo +VJC2
ri(z) = ri(zo) + /------------------------------------------------5 ПТТ/Г
=
*. C [(Co-Vo^)2 -cV^1'2
z [ Vq/c* Pi 1
= rL(z0) + fdz \ + - tg в . (16.24)
r0 L cos в i>i J
Здесь 6(z) вычисляется по формуле (8.27). Время распространения звука по
л учу от точки г (z о) до точки г (z) равно
т - j dz = j АI________________с° ~VoKl _ _ f dz
*о (^g)3 ** С [(Co -Vo Vif -с2 VL l1/2 ccosfl
(16.25)
Отметим, что луч будет лежать в вертикальной плоскости, проходящей через
источник и лрнемник, только если направление Vo постоянно и параллельно
(или антипараллельно) вектору v±.
В качестве лучевых координат а и у в (16.11) возьмем две декартовы
компоненты вектора . Равенство dv± \dr = 0 позволяет упростить общее
выражение для якобиана. При учете (16.18) имеем
' _ Ъ(х,у. г) Э(1г)
D(t) 9 --------------------------------- =
9(t,Pi,^2) Э(|>1,1"2>2) Э(т,*"1,1>2)
_ dz 3(х,у) _¦ 3(х,у)
=----------------= и3------- . (16.26)
dr b(vi,v2) 3(t"i,t"a)
Здесь Vy 2 - проекция вектора на оси Ох и Оу или какие-либо другие
ортогональные осн в горизонтальной плоскости. Дифференцирование уравнения
луча (16.24) дает
Щт) = V3cl { / -~А-~ f 1&V\ + (цХ v0f ] -
Up с A z0 с2 А
~С{1%г*)У (1б-27)
Громоздкая выкладка, необходимая для вывода этого соотношения,
упрощается, если в качестве брать проекцию р± на направление
ri(z) " ri(zo)- Заметим, что в силу неравенства Коши - Буняковско-го
[146, § 4.6] якобианО(г) >0 приг Фг0.
Как в п. 15.3, будем считать точечный исто-чник монопольным и нормировать
его силу так, что в неподвижной среде вблизи источника р(г,г0) ~ - - 1 /
(4 тг I г - г01). Тогда в движущейся среде при г ="г0, согласно (15.27),
звуковое давление р(г, г0) ~ -1/(4ттК,), где Ri = {(х - х0)2 + + [1 -
Uo(Zo)co2] 1(У - УоУ + (z - zo)2])1/2 И принято,что с0 =е(г0). Пусть
точка г = т0 на луче находится в малой окрестности точки г0, где сраду
можно считать однородной. Тогда Kj = [г(т0) - 1 /^з(го)*
Ло(го> - -*"э(го)МФ(т0) - zо], ?>(r0) = [z(r0) - z0] Й(2о)-
357
Подставляя эти значения в формулу (16.23), получаем окончательно
где D(r) берется из (16.27). Как и следовало ожидать, величина Ао(т) ие
зависит от выбора вспомогательной точки т = то на луче. При и0 s О
