Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бреховских Л.М. -> "Акустика слоистых сред" -> 172

Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.

Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред — М.: Наука, 1989. — 416 c.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка): akustikasloistihsred1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 166 167 168 169 170 171 < 172 > 173 174 175 176 177 178 .. 195 >> Следующая

Подчеркнем, что все три метода: эталонных уравнений, эталонных интегралов
и эталонных функций - тесно связаны между собой. Решая одномерное
волновое уравнение методом Лапласа [131, ч. 1, § 19], исследование его
высокочастотной асимптотики можно свести к анализу интеграла вида (11.1).
Связь первых двух методов с третьим была проиллюстрирована выше. Метод
эталонных функций является довольно универсальным, но мало наглядным. Во
многих задачах он позволяет сравнительно просто вычислить коэффициенты
асимптотического разложения интегралов и решений дифференциальных
уравнений, однако анализ условий применимости полученного результата
оказывается более сложным, чем в других методах. Кроме того, заранее
должна быть известна исходная форма решения.
374
17.3. Фокусировка звука в окрестности каустического острия и других
особенностей лучевых структур. Типичной особенностью каустических
поверхностей являются острия, или клювы. В сечении эта особенность дает
точку возврата каустики. Для точечного источника в слоистой среде точки
возврата образуют окружности, лежащие в горизонтальной плоскости. При
волиоводиом распространении клювов может быть сколь угодно много. Лучевая
картина в окрестности точки возврата О каустики показана на рис. 17.2.
Каустика изображена жирными линиями. Выше ветви ОА каустики через каждую
точку проходит один луч (например, SS), касающийся ветви ОВ. Аналогично,
ниже ОВ через каждую точку проходит луч, касающийся О А. Между ветвями ОА
и ОВ через каждую точку проходят три луча. Два из них касаются ''ближней"
ветви каустики, третий - дальней ветви. В точке О три луча сливаются в
один, который служит общей касательной для ветвей ОА и ОВ каустики.
Для исследования характера фокусировки высокочастотного звукового поля
применим метод эталонных интегралов. Чтобы решить задачу, нужно построить
асимптотику интеграла вида (17-1) с тремя перевальными точками q = q
i,2,3* В вершине О каустического острия все три перевальные точки
сливаются, производная у/" (q) обращается в нуль. Поэтому обычная
каустическая асимптотика (17-14) не годится для расчета поля в
окрестности точки О.
Как отмечалось в п. 11.3, эталонным для задачи с тремя стационарными
точками является интеграл Пирси (11.91):
ПриХ= У = 0,согласно (11.7),/ ^О.бехр (/я/8) Г(1/4) 1,813ехр(/я/8).
Когда У = 0, при помощи замены переменной s = и1 интеграл Пирси легко
выразить через функцию параболического цилиндра D_i/2((l-i )Xj2) (см.
(11.66)), которая может быть заменена функциями Бесселя порядка ±1/4
[240, гл. 19]. При УФ 0 интеграл Пирси не сводится к традиционным
специальным функциям. Линии уровня модуля и фазы I (X, У) были рассчитаны
в [466]. Они показаны на рис. 17.3 и 17.4. Поскольку I (X, У) = = I (X, -
У), показана только область У > 0. Р* дальнейшем нам понадобятся также
производные Iх = Э//ЭЛГ и /у = Э//ЭУ. Для них линии уровня построены в
работах [115, 336, 337].
1(Х, У)= / exp[i(s4+Xs2 + Ys)]rfs.
(17.36)
Рис. 17.2. Лучевая картина вблизи точки возврата каустики. Смысл
координат X и У пояснен в тексте
т
375
Рис. 17.3 Модуль интеграла Пирси 1(Х, У) в окрестности точки касания
каустик
-j -г ~i о 1 г Рис. 17.4. Фаза интеграла Пирси (в градусах)
Для сведения интеграла (17.1) к (17.36) сделаем замену переменной q
*<7(5) согласно равенству
?>07)-"Л>=^(И+Хх2 + Ys). (17.37)
Будем считать, что при вещественных q функция $ принимает веществен' иые
значения. Параметры X, Y и ip0 должны быть определены так, чтобы
стационарные точки ip переходили в стационарные точки s 1 2>3 правой
части (17.37):
НЯ,)-Ч>о ~v(s'j+Xs} + Ysj), /=1,2,3; v = sgn94 ^(qOfbq4 . (17.38)
Поскольку в окрестности каустического клюва сближаются только три
перевальные точки, то производная ^"р/Эд4 в рассматриваемой области не
мала и, следовательно, ие меняет знак. Величины Sf выражаются через Хи Y
как кории кубического уравнения
4s3+2Xs + y = 0 (17.39)
при помощи формул Кардаио [146, § 1.8]:
1 ч/з
Si =Ci + С2, s2,3 =-~(с1 +C,2)±i -(Cl -C2),
(17.40)
C, ,2 = V^r/8 ± 'M, С, = (XI6)3 + ( Г/8)J.
Корни обладают очевидными свойствами
Si +s3 +s3 =0, +J2S3+Jj*3 =Л!/2, SjSaSs - - YfA. (17.41)
Два корня совпадают при условии С3 = 0- Таким образом, соотношение ВХ3 +
27 У2 =0 (17.42)
служит неявным уравнением каустики. В координатах (X, У) оиа представляет
собой астроиду. При С3 < 0, т.е. между ветвями каустики, все три кория
действительны. При С3 > 0 корни s 2 и s 3 - комплексио-соп-ряжеииые
величины. При X = Y = 0 мы имеем точку возврата каустики. Чтобы
производная (/(О не обращалась в нуль, седловые точки qj необходимо
нумеровать следующим образом. Когда все qj вещественны, наибольшему
соответствует наибольшее sf, а наименьшему 4/ - наименьшее sj. Если qx
вещественно, а = <7з*> 10 s i вещественно, s3 = s|, причем sgn Im s2 =
sgn Im q2 ¦
Наиболее сложной частью построения равномерной асимптотики оказывается
определение параметров эталонного интеграла. Чтобы избежать решения
Предыдущая << 1 .. 166 167 168 169 170 171 < 172 > 173 174 175 176 177 178 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed