Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
(см. рнс. 16.1). Смещение луча вдоль отражающей границы вполне аналогично
смещению остронаправленного волнового пучка, которое рассматривалось в §
13. Величина Д = О, если граница z = 0 абсолютно мягкая или абсолютно
жесткая. Сдвиг луча при отражении несуществен при | Э Vfbvi ^ 1. Однако
это неравенство выполняется далеко не всегда. Если плавно-слоистая
жидкость занимает все пространство, включая область z < 0, н луч имеет
точку поворота zr < 0, то коэффициент отражения дается формулой (9.31).
Легко убедиться, что в этом частном случае значение Д равно
горизонтальному смещению луча на его пути в полупространстве z < 0 и
может составлять много длин волн. В других случаях применение формулы
(16.35) приводит к интересным результатам, дополняющим обычные лучевые
представления о рефракции волн [56].
Вклад p*s*(/\ г0) стационарной точки в асимптотику интеграла
(16.32) вычисляется по формулам (11.41). Роль большого параметра играет
к0. Согласно (11.36), в обозначениях настоящего параграфа |deti?l •
l_1/2exp[;n-(sgn^, +sgni?2)/4] = ; [ Э(дг, y))b(vu v2 ))" !/2, где
x(v± ) иy(ux ) определяются уравнением стационарной точки (16.34) или
(16.35). Для вклада стационарной точки функция ф, из (11.41) и
(16.32) получаем
p(z)c2(z)v2(z) j Э(Х,у) I1/2
рю(|.,,0) = ± [ JVC ?>¦'. w /
4V I p(z0)ciy(z0)|U(Zo)iu(z) / Э(р,
Xexp[rt0^ ,("><*>)] [1 + 0(1 /fc0)]. (16.36)
Легко видеть, что предэкспоненциальный множитель совпадает с амплитудой
звукового давления Ао(т(г)) (16.28) на луче, рассчитанной в первом
приближении геометрической акустики. Величина ф^^5*), согласно (16.33),
(16.34) н (16.29), равна эйконалу ф(7(г)). Таким образом, вклад
стационарной точки функции Фх - это звуковое поле на прямом луче.
Аналогично рассматривается вклад стационарной точки функ-
360
ции Фг\ он отличается от (16.36) умножением левой части на 1 и
заменой ^ на ^2 и дает лоле на отраженном луче.
Формула (16.36) была выведена для случая z Ф z г. Однако и лри г = z г
она совпадает с результатами л. 16.1. Хотя ц(г) -*-0 лри г -*-гГ,
лучевое
поле, вообще говоря, остается ограниченным в точке поворота. Действи-
тельно, пусть Эц2/Эг Ф 0 при г = zr. Тогда из (16.27) видно, что при z 2Г
Э(дг, у)/Э(^1, v2) ж и D(t) принимает в точке поворота отличное от нуля
конечное значение. При переходе через точку поворота меняется знак Меняет
знак и якобиан Э(дг, ,y)/d(vi, v2), равный, согласно (16.26), D(t)Iv$. (В
этом можно убедиться непосредственно, дифференцируя уравнение луча
(16.35) по ^1,2 ) Появление -1 под корнем компенсирует домиожение поля на
величину КС**^) * Таким образом, амплитуда и фаза звукового давления иа
луче остаются непрерывными в точке поворота.
Разрыв р^(г, г0) возникает, когда zr обращается в нуль. Этот не имеющий
физического смысла результат связан с неприменимостью формулы (16.31) в
рассматриваемом случае. Анализ поля в окрестности луча, касающегося
границы, при = 0 проведен в [403].
Перейдем к задаче о точечном источнике в волноводе. Пусть и0 = 0,
скорость звука имеет единственный минимум и неограниченно возрастает при
| z | -*¦ (рис. 16.2). Будем исходить из интегрального представления поля
(15.34). Решения одномерного волнового уравнения, удовлетворяющие
условиям на бесконечности, рассматривались в п. 9.2, Согласно формулам
(9.29) и (9.30), иа высоких частотах p,(?,z) = (р/р)1/2[ехр(-№оЧ>|)-¦'ехр
(№",(>,)],
г>2Л1), ?>.(*)= /р*. (16-37)
г_
Рг&я (Р/М)1/2 [ехр {1к0фг)~ * ехр (-/А^)],
z < z+(?), ч?2(г) = / fidz, (16.38)
*+
где ц = (пг - z+ >z_ - горизонты поворота: n(zt) = q,q =
%}к0.
Рис. 16.2. Профиль скорости звука и траектория луча в волноводе. Лучи AD,
АС, BD и ВС соответствуют N = 2 и комбинациям знаков ++,+-, - + и - в
формуле (16.43).5)(вв) - длина цикла луча
361
При z < z_(z > z+) решение p, (p2) экспоненциально мало при больших к0.
Заменяя в (15.34) функцию Ханкеля ее асимптотикой (12.13), с точностью до
множителя 1 + О(ко1) получаем
ч /*" V'2 I '\ ? t". tfXz, Z", ")
Р(М-о) = ( - ) ехр I - -- J E S dq----------------------------------
X
\r / \ 4/i=i- 2sm(i0Wo)
X exp \ik0(qr + v!t)\,
Г qpiz) 32ir V'2 F^,^.q)= . (16.39)
L p(z0)p(z)p(z0) J
IT
w0 = g (z.) -
*1,2 = ?(Z>)~ W0 **(г<) '
2 k0
77(34 1)
4i0
77(1 T 1)
"3,4 = Wo -?(zo)4?(z<)-------------- , (16.40)
4 k0
где
Z
?(z) = / P*.
Z _
Пусть Аг0 имеет сколь угодно малую положительную мнимую часть. Тогда |
exp(ifc0w0)| < 1 и величину 1/s'in k0w0 можно представить в виде суммы
геометрической прогрессии.'
j exp(ifc0w0) "
--------------------------- = 2 ехр [i(2m + O^oWoJ. (16.41)
2 sin fcoWo 1 - exp (2ikow0) m = 0
Подставляя это разложение в (16.39), получаем двойную сумму
4 " / \1/а ( ,7Г \ +"
р(/-,г0)= 2 2 (- ) ехр(--- )/ dqF(z,z0tq)X
l=im=o\r / \ 4 /-"
X exp{ifco[tfr + Wj +-(2т + l)wo]>, (16.42)
каждое слагаемое которой можно оценить методом стацкокариой фазы.
Уравнения стационарных точек q - qs при различных / и m записываются в
виде
Э
' " z("j,z, z0), г(", Z,Z0) = [2ATwo ±*(Z0)±*(Z)1,
