Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
через известные функции ^ 1,2
Ро = (v?i + рг)№, h = (i^2 - pi )/2. (17.28)
Как и следовало ожидать, t обращается в нуль иа каустике, где pi - рг-
Уравнения (17.27) аналогичны уравнениям переноса (см. п. 16.1) и
переходят в них при t = const. Используя обозначения aj - (-f)-1 Aj> ,
представим (17.27) в симметричном виде:
2 Va( +а}- Д^0 -2Vh Vbf - b( Ah = - (- t)-1 f4AAf_i,
2V^0 Vbj + bj Д^о -2VhVaf-a, ДА = -(-f)1/4Afl,_,. (17.29)
Для функций a0 ± b0 из (17.28) и (17.29) получаем 2^piV(a0 +b0) + (aQ +
b0)Apj =0,
2 V(a0 - bo) + ("о - "o) = 0, (17.30)
т.е. обычные уравнения переноса. Следовательно, амплитудные множители
нулевого приближения выражаются через лучевые амплитуды: д0 * &о =
*const1>2 ' <ii°2 .или
^o = (-i)1'V{0,+40)), fl0 = (-7r1/4(40>-d2w). (17.31)
Нормировка решений уравнений (17.30) выбрана так, чтобы при удалении от
каустики звуковое давлениер(к0>г) (17.20) переходило в лучевые формулы,
т.е. чтобы в (17.21), (17,22) выполнялись равенства/)^* ~ ^ 1,2 •
Складывая и вычитая уравнения (17.29), для функций а,- ± Ь( получаем
уравнения, отличающиеся от (17.30) только наличием ненулевой правой части
- (- Г)" l(4AAj-1 + (- г)ABj^x. Как и в п. 16.1, оба уравнения переноса
сводятся к обыкновенным дифференциальным. Прн известной правой части их
решения выражаются через интеграл вдоль луча. Таким образом,
(17.31) и (17.29) позволяютпоследоватепьио найти в квадратурах
амплитуды всех приближений Af, Bj в (17.20). Можно показать, что и в
общем случае аргументы эталонных функций выражаются через решение
уравнения эйконала, а для амплитуд Aj, Bf получаются обыкновенные
дифференциальные уравнения, решения которых можно выразить через лучевые
амплнту-цы d<'> [442,150,78].
Сопоставим полученные результаты с формулами п. 17.1. Сравнивая (17.7) и
(17.28), видим, что-оба подхода дают идентичные выражения для 24* 371
"Ро и аргумента функции Эйри. При t <0 величины dlf2 , и амплитудные
множители А и5в (17.19) совпадают с амплитудами первого приближения А0 и
В0 (17.31). При t > 0, как следует из определения величин dXf2 и
соотношения (17.14), А = t(dx + d2), В = it I* (d2 -dx). Подставляя эти
выражения в (17.22), получаем Dx = diexp (- i'jt/4). Следовательно,
(17.16) и (17.22) дают одинаковые асимптотики поля на теневой стороне
каустики. Формулы (17.15) и (17,21) приводят к идентичным асимптотикам
поля на ее озвученной стороне. Из (17.28) вцдио, что дополнительный
фазовый сдвиг - тг/2 имеет луч с эйконалом ф2 ~ ро + h> рх, В точке
наблюдения р2 больше значения эйконала на каустике ро, т*е. этот луч уже
коснулся каустики и удаляется от нее.
Некоторое время тому назад применительно к слоистой среде имела место
оживленная дискуссия [510, 530, 548] о том, где теряет луч фазу л/2 - в
точке поворота илн прн касании каустики. Возможно, этот вопрос и не
заслуживал бы упоминания, если бы ошибочная трактовка не встречалась даже
в очень солидных работах (например, в [247, гл. 2, 5]), Ясно, что скачок
фазы может происходить только в области неприменимости лучевого подхода.
Если точка поворота не лежит на каустике, то лучевые выражения для
звукового поля не имеют в этой точке никаких особенностей. Следовательно,
потеря фазы в ?г/2 не может быть связана с точками поворота. Наиболее
ярко это проявляется в однородной среде, где лучи ^Прямолинейны, точки
поворота отсутствуют, но прн касании лучом каустики происходит обычный
скачок фазы [168, § 59], [58, § 4.5]. То, что фазы претерпевают скачок
именно иа каустике, мы видели и в п. 16.2.
Если луч касается каустик неоднократно, дополнительные фазовые сдвиги
складываются. Каустический сдвиг фазы может быть найден не только из
интегрального представления или равномерной асимптотики поля, как это
было сделано выше, но и другими способами: методом канонического
оператора [192] илн путем обхода каустики в комплексном пространстве при
помощи аналитического продолжения решений волнового уравнения [18]. В
изотропной среде, когда лучевая структура поля имеет более сложные
особенности, чем простая каустика, а также в анизотропных средах
каустический сдвиг фазы может принимать и другие, отличные от (- гг/2)
значения [43208], [151, § 4]. В п. 17.3 будет рассмотрен один пример
такого рода: скачок фазы иа луче, проходящем через фокус. Сдвиг фазы на
каустике, как правило, мал по сравнению с геометрическим набегом фазы
вдоль луча. Тем не менее этот сдвиг может существенно сказаться иа
интерференционной структуре поля. Будучи частотно независимым, сдвиг
приводит к сильной деформации звукового импульса, бегущего по лучу (см. §
5 ).
Важной составной частью построения асимптотики звукового поля методом
эталонных функций является исследование условий регулярности полученного
решения. Не углубляясь в этот вопрос (подробный анализ см. в [19, гл.
2]), отметим только следующие основные моменты. Когда (0о (г) и t (г)
являются гладкими функциями и Vt Ф 0, как в окрестности простой каустики,
