Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
при ? =?j. Рассмотрим для определенности распространяющиеся нормальные
волны в полупространстве z < 0 со свободной границей 2=0. Будем
считатьГчто при z < -Н среда однородна. В моде, распространяющейся без
затухания, нет оттока энергии на бесконечность. Следовательно, функция
/?)(?, 2), удовлетворяющая граничному условию при z -* - в области z < -Н
при ?, близких к ?^, будет неоднородной плоской волной. (Здесь и ниже для
краткости мы не указываем в числе аргументов pj j , ?/ и |3 азимутальный
угол ф- ф}, от которого зависит поле в движущейся среде.)
Умножим волновое уравнение, записанное для pi(?, 2), на Pi(?;, z) и
вычтем из него результат умножения на р"(?, z) аналогичного уравнения для
Pi($t,z). Получаем тождество
Проинтегрируем его по 2 от - "" до 0 и учтем; что р^ О приz -*• - *", р2
= 0 при г - 0. Тогда в левой части остается {-р2 др21Ъг[р(}г(%,г)]~1)
g=0. Выражая ее через вронскиан (15.32), находим
р Эг Эг 1(32Й, z) 0J(S,,z)
1 Эр, Эр, Г 1 1^
/32Й.г) 02&,г)
(2 if
(15.70)
Ц'Й.гр) Эр,Й,,0) /Эр;({, 0)
Р(го)0гй, г0) Эг / Эг
Эр2
Эг
350
(15.71)
Дифференцирование (15.71) по ? при учете w(?/,z0) = 0дает
(15.72)
Вместо р1д(?|> z) введем отличающееся от них только постоянными
множителями решение//(z) - 0\p\{%i,z) "ДгРгС?/"*)" нормированное условием
о
P(Zo)02"/, *")_/_ dz[/iJ(z).+ (l -№,z))Jf2(3/i/dz)J]/p(z)fi3($,.z) = 1.
Согласно (15.72), 9w(?/} z0)/<f? - -2?//а1а2. Подставляя это равенство в
(15.52) и (15.67), находим окончательно соответственно для покоящейся и
движущейся срады
Из тождества (15.71) вытекают соотношения ортогональности для мод. Пусть
? - ?т =? ?/. Тогда w(?, z0) = 0 и, следовательно,
В неподвижной среде 0 = 1, и формулы (15.73) и (15.74) упрощаются:
где - символ Кронеккера: bjm = 0, 1Фт\ Ь1т = 1, I = т.
Отметим, что аналогичные (15.72), (15.74)*, (15.75) резулттаты можно
получить и в другом, также представляющем интерес случае, когда при z = 0
и z = -Я на звуковое поле наложены произвольные имледансные граничные
условия.
(15.73)
(15.52а)
(15.67а)
(15.74)
о
(15.75)
351
Рис. 15.1. Амплитуд" акустического поля в волноводе на горизонте
источника г -= -25 м на частоте 200 Гц: 1 - звук распространяется по
течению, 2 - против течения, 5 ~ в отсутствие течения
На больших расстояниях от источника даже медленные течения, характерные
для Мирового океана, способны сильно повлиять на величину звукового поля,
в первую очередь благодаря изменению фаз отдельных мод и, следовательно,
условий их интерференции- Это иллюстрирует рис. 15.1 [97], на котором
показан горизонтальный разрез звукового поля в волноводе с билинейными
профилями скорости звука и скорости течения.' При расчете глубина моря
принята равной Н = 200 м. Плоскость г - 0 является свободной границей.
Скорость звука линейно растет от 1490 м/с при г = 0 до 1500 м/с при 2 =-
Н. В полупространстве z < -Н скорость звука постоянна и равна 1500 м/с.
Скорость течения параллельна оси Ох. У поверхности и0 = 1 м/с> уо(г)
линейно убывает до нуля лри z а -Hj2. На большей глубине о о = 0.
Плотность предполагалась постоянной во всей среде. Хотя число Маха
течения меньше 10'3, вызванные течением изменения интенсивности зпукового
поля доходят на рассматриваемых расстояниях до 30 дБ.
§ 16. Высокочастотные звуковые поля
Этот параграф посвящен изложению основ лучевого метода и его обоснованию
на базе волновых представлений. Рассматриваются монохроматические волны в
стационарной трехмерно-неоднородной движущейся среде. Здесь, в отличие от
гл, 2, мы не будем предполагать, что зависимость 352
поля от горизонтальных координат - гармоническая, и покажем, что мно-гие
результаты § 8 и 10 переносятся на общий случай. Более подробное
изложение геометрической акустики неподвижных (в том числе
нестационарных) сред и ее многообразных Приложений читатель найдет в
[151]. Ряд дополнительных ссылок дан в § 8. Особенности лучевой теории
упругих волн в твердом теле освещены в [324].
16.1. Приближение геометрической акустики для сосредоточенного источника.
Акустическое давление в произвольной неоднородной среде, параметры
которой мало меняются на расстояниях порядка длины звуковой волны,
целесообразно искать, разлагая амплитуду в ряд ло обратным -степеням
волнового числа:
pOVo) = ехр [ifcolH'Ol 2 (16.1)
т - О
Здесь к0 - значение к (г) в произвольно выбранной точке среды. Выражение
(16.1) называют лучевым рядом или дебаевским разложением, функцию ф(г) -
эйконалом. Волновое число к0 является большим параметром. Фактически
разложение в (16.1) ведется ло степеням безразмерной величины кйЬ, где L
- характерный пространственный масштаб изменчивости среды. Если скорость
течения превышает скорость звука, то необходимое для применимости
геометрической акустики условие малости длины волны ло сравнению с L
может быть выполнено и при нулевой частоте [171, §68].
Подставляя (16.1) в "волновое уравнение для неподвижной жидкости (1.23) и
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях к0, получаем
