Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
(V0)2 = я2, (16.2)
2VAQVф-A(,V]npVф+A0Aф s0, (16.3)
2 VAj Уф - Af V In p Уф +AjAф ~ -Aj_i + У А}_{У\ар, f = 1,2,... °6*4)
Здесь n = к(г)/к0 - показатель преломления, формула (16.2) называется
уравнением эйконала, (16.3) и (16,4) - уравнениями переноса нулевого и
последующих приближений. Обозначим v = Уф, Тогда уравнение эйконала можно
записать в виде Н{у, г) = 0 (например, И - v - п
или Н =
= 1п(у/я)). Функцию tf(v, г) называют гамильтонианом. Уравнение
(16.2)
представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка,
относящееся к классу уравнений Гамильтона - Якоби [162], решение которых
сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных
уравнений:
dr/dr = ЪН/Ъу, Э vjdT = -bHfdr, (16.5)
где т - некоторый вспомогательный параметр. Согласно (16.5) d^/dr * =
vdff/dv. Поэтому, если г(т) и v(t) известны, то вычисление ф сводится к
квадратуре:
т
ф(т) = ф(т0) + / v bH/dv dr. (16.6)
т"
Кривую г(т) называют лучом.
23. ЛМ. Бреховских
353
Уравнения (16.5) можно конкретизировать, задавшись определенным видом
функции H(v, г). Положим Я = 0,5 [iv2 - п2(г)], тогда дифференциальные
уравнения луча (16.5) принимают вид
довательно, ортогонален волновым фронтам - поверхностям = const. Параметр
т связан с длиной дуги луча s соотношением ds = \ dr | * ndr. Из (16.6)
находим
Можно показать, что луч является экстремалью функционала /vdH/bvdr, т.е.
на луче значение эйконала, определяемого как интеграл от п ло кривой,
соединяющей две фиксированные точки, экстремаль-
В частном случае ллоско-слоистой среды, когда п = я (г), из уравнения
(16.8) следует, что горизонтальные компоненты вектора v = = у3)
постоянны (не зависят от г). Следовательно, луч является
плоской кривой. Он лежит в вертикальной плоскости, проходящей через-
источник н параллельной вектору *'(т0)- Обозначим острый угол, образуемый
вектором v с вертикалью, 0(z). Тогда = y(z)sin0(z) = = "(z)sin0(z), и из
уравнения v± = const следует закон Сиелля (2.196). С его помощью легко
найти в квадратурах траекторию луча (см. п. 12.3).
Пусть известно уравнение г = г(т, а, 7), задающее координаты точки на
луче как функцию переменной т и параметров а и 7, характеризующих
направление выхода луча из источника. Найдем амплитуду лоля на луче. В
уравнениях переноса, согласно (16.7), имеем V-tyV - (dr(dT)V = djdT,
Умножая (16.3) на А о1, получаем .
(dfdT)\n (;4o/p) + divp = 0, или
По формуле Лиувилля [131, ч. 1, § 9] для решений линейной системы
уравнений (16.7) имеем div v~ {djdr)In D(t), где
- якобиан перехода от декартовых координат х, у, z к лучевым координатам
т, а, 7. Крест означает векторное произведение. На луче якобиан вместе с
вектором г(т, а, 7) являются гладкими функциями т. В нулевом приближении
геометрической акустики амплитуда поля на луче, таким образом, равна
dr/dr ~ у, dvfdr = 0,5 Vn2(r).
(16.7)
(16.8)
Согласно (16.7), касательный к лучу вектор dr/dr параллелен еле-
т
S
ф(т) = ^ (то) + ! nJ(r(r))dr = ф(т") + J n(r(s))A.
TQ Sf
(16.9)
но [162].
Al(r) = л5(т0)р''(то)р (т)ехр [ - / divpdr ].
т"
(16.10)
(16.11)
А0{т) =
(16.12)
354
Не составляет труда решить в квадратурах и уравнения переноса для высших
приближений (16.4).
Чтобы вычислить звуковое давление в заданной точке г, следует найти луч,
приходящий в эту точку, т.е. разрешить уравнения г(г, а, 7) - г
относительно т, а, 7, и подставить найденные значения лучевых координат в
формулы (16.9) н (16.12). Если окажется, что существует несколько наборов
решений г, а, 7, то в точку наблюдения приходит несколько лучей, и
суммарное поле является суммой выражений (16.1), вычисленных на каждом
луче.
Плотность потока мощности звукового поля (16.1), согласно формуле (2.11),
равна
I = (2cop)-1Im(p*Vp) * (2рс0)-1 Мо 12р[1 + 0(*о4)],
_ /т (16.13)
Со = w/fro-
В нулевом приближении поток энергии направлен вдоль лучей. Рассмотрим
бесконечно узкую трубку, образованную пучком близко идущих лучей.
Обозначим do(r) площадь ее поперечного сечения. Элемент объема лучевой
трубки dV = dsdo. С другой стороны, dV = \ D(t)\ dr docdy. Поток мощности
в лучевой трубке согласно (16.12) и (16.13) в нулевом приближении
постоянен:
I(T)do(T) = \ [2p(T)Co]~ldady =
= \D(ro)Al(To)\[2p(T0)c"r'dady.
В п. 12.3 это утверждение было положено в основу вычисления силы звука в
слоистой среде.
Уравнения геометрической акустнкн трехмерно-неодиородиой движущейся
жидкости можно вывести из системы (1.6)-(1.8). Скорость частиц v и
приращение плотности р будем искать в виде, аналогичном (16.1):
V = ехр [/*0 0(01 ? Вт1Г)('коУт,
m = о
(16.14)
р' = ехр [ik0ip(rj\ 2 Dm(r)(ik0)~m.
m - О
Подставим (16.1) н (16.14) в снстеугу (1.6) -(1.8). Приравнивая в этих
уравнениях коэффициенты при самой высокой (первой) степени к0у получаем
(1 - y0v/co)Bo-{pc0y^vAo, (1 -v0p/c0)A) = (plco)vBQt А - 2n (16.15)
А о - с Dq.
Алгебраическая система (16.15) имеет нетривиальное решение при условии [
1 - v0 (/>/с0 fclc ~2 (Г) = Р2, ' (16.16)
