Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
(16.28) переходит в полученную ранее формулу (12.39). Эйконал находим,
переходя в (16.20) к интегрированию по г:
Формулы (16.28) и (16.29) полностью определяют звуковое давление в
нулевом приближении геометрической акустики на восходящем участке
траектории луча в движущейся слоистой среде. Легко убедиться, что в
однородной среде они переходят в точный результат (15.27). Чтобы получить
поле точечного источника объемной скорости и сторонней силы, следует, как
отмечалось в п. 15.2, подействовать'на р(г, г0) оператором icopaQ + (/о -
pa0v0)V. Для источника объемной скорости (т.е. прн /о = 0) на больших
расстояниях от него наши формулы переходят в результаты Осташева [213],
полученные из других соображений. Соотношениями (1б.27)-(16.29) можно
пользоваться и на нисходящем участке траектории луча, считая, что н3 < 0
и cos б < 0. Не составляет труда вывести явные формулы н для лучей с
точками поворота.
16.2. Лучевая теория как предельный случай волновой. В слоистой среде
результаты геометрической акустики можно получить, вычисляя
коротковолновую асимптотику точного интегрального представления (15.33)
звукового поля. Переход от волновой теории к лучевой имеет свои
особенности в движущейся среде, а также при волноводном распространении,
когда лучи периодичны в пространстве н бесконечное число раз возвращаются
на горизонт источника. Чтобы не загромождать изложение непринципиальными
деталями, мы рассмотрим отдельно поля монопольного источника в волноводе
в неподвижной среде и в движущейся среде при неволноводном
распространении.
Пусть источник расположен в точке г о = (0, 0, z0) в плавно-слоистой
среде, занимающей полупространство г > 0; с(г0) =с0. Профили скоростей
звука и течения таковы, что i>3 = (с0 - v0vi)2c"3 - v\ является монотонно
убывающей функцией z. Это будет выполнено для всех направлений выхода
луча нз источника, если с' > |dvo/9z | прн любых положительных г. Тогда
лучи с ^3(z0) > 0 не имеют точек поворота, а лучи cv3(zo)<0 или будут
иметь единственную точку поворота zr < z0, где Vi(Zr) = 0, или однократно
отразятся от границы z - 0 (рис. 16.1). Будем считать известной функцией
горизонтального волнового вектора { коэффициент отражения V0{?) плоских
волн, падаюшнх на границу z > 0 из однородного полупространства г > 0 с
параметрами р = р(0),
Mz)vi
Со
I
p(z)
I •/*
X
(16.28)
р(г0)|'з(го)0(г)
(16.29)
c = c(0), v0 = v0 (0).
358
Рис. 16.1 Три типа лучей в среде с монотонной зависимостью и1 (г).
Штриховой линией показана проекции на плоскость хг траектории луча при г
< 0 в случае, когда плавно-слоистан жидкость занимает все пространство
В силу предположения о плавной зависимости параметров среды от z для
нахождения решений одномерного волнового уравнения Pi,г(€. 2)' входящих в
интегральное представление (15.33), можно применить метод ВКБ, который
подробно рассматривался в гл. 2. Решение рг, представляющее при z -*• +оо
уходящую волну, в приближении ВКБ имеет вид (см. (8.11))
(pcV/^)^2exp(iA:0 f pdz ), мМЫ- (16.30)
Граничному условию ниже источника удовлетворяет другое ВКБ-решеиие (см.
лл. 9.2 и 10.4):
Pi ({. г) = (pcV//i)1/J [ехр (-/*" / pdz) + V(vL) ехр (ik f р d2 )],
*1
z>z,. (16.31)
Здесь V(vi) = Vo(k0vL)tzx = 0, если при данном { у волны нет горизонта
поворота. В противном случае V = - i, г к = zr. Простой формулой (16.31)
можно пользоваться, если гг не близко к горизонту z и границе г = 0. (При
г и zr ^0 поле рi({, z) описывается более сложной асимптотикой,
содержащей V0(k0u± ) и функции Эйрн).
Формулы (16.30) и (16.31) определяют р12 с точностью до множителя 1 + О
(ко1 )• Вычисляя с той же точностью w({, z0) и переходя к интегрированию
по vx, V2, из (15.33) получаем
ik0 \ p(z)c2(z) ]'/J
P(r'ro) =
X [е
!tf2 L p(z0)co 2>
t>(z)/K(z0)
[p(Z)p(Zo)]1/J
(16.32)
Ф/IVl) = fifi + J pdz+(-l)'/ pdz + (/ - 1 )arg V, /=1,2. (16.33)
г, г,
Здесь V= | K|exp(/arg V), z> =max(z,z0), z< * min(z, z0). Модуль
коэффициента отражения в дальнейшем будем считать медленно меняющейся
функцией v± . Основной вклад в интеграл (16.32) при больших к0 дают
окрестности стационарных точек показателей экспонент. Они оп-
ределяются из уравнений дф;/ди1 = 0, или ri~rl(v^s\ z, z0), где при
359
/ * 1 и j - 2 соответственно
'i("i. *.*о) = / *{cJ>'i+V0(Co-Vo>'i)|/(c2l'3), (16.34)
*0
* dz
rL(vL, 2, z0) = ( / + / )-;- (c2^ + v0(c0 -v04l)1 + 4("l),
2, 2, С Ц
-1 Э
ACi) = 7- T- arg К (16.35)
*0 orL
При z > z0 соотношение (16.34) совпадает с уравнением (16.24) луча,
выходящего из источника вверх. При z < z0 (16.34) также является
уравнением луча, который в этом случае будет нисходящим. Соотношение
(16.35) описывает траекторию луча, вышедшего нз источника вниз и в
дальнейшем изменившего знак ^з(г) вследствие рефракции или отражения от
границы. Когда Zj = zr, величина Д равна нулю н луч состоит нз двух
ветвей, восходящей и нисходящей, аналогичных (16.34). В случае отражения
от границы (z( = 0) у луча появляется третье, параллельное границе звено
