Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
следует отметить статью [73]. В ней двумерным методом стационарной фазы
вычислен главный член асимптотических разложений полей от-
(12.88)
(12.89)
sin3 6 cos б
'.и(ч>)\42 ехр(-lvi/8)n3(kRst)-4*A/B,
(12.90)
Вг =
1/2
т sin 0О cos sin3 5 cos 5
Ф = <fi
*) Например, когда граница раздела неустойчива (об устойчивости течений
см. [171, гл. 3]), вклад полюса в рТ дает волны, излучаемые границей
[196].
276
Рис. 12.8. Амплитуда звукового давления при отражении сферической волны
от движущейся среды с параметрами п = 0,5; т = 0,1; М = 0,5 при 0О - я/3
и различных расстояниях от мнимого источника: а - полное отраженное поле
рг при распространении звука по течению Ор - 0, кривая 1), против течения
= ч, кривая 2) ив отсутствие течения (кривая 2); б _ роль различных
компонент поля в формировании рг при ip = 0 (i - зеркально-отраженная
компонента; 2 - боковая волна; 3 - полное отраженное поле)
раженной и прошедшей волн. Он соответствует приближению геометрической
акустики, в котором pr = K(sin во, у?)Л J-1 ехрj). Ряд авторов
рассматривает поле не точечного, а линейного источника, параллельного
границе раздела. В такой постановке задача оказывается значительно проще,
поскольку вне зависимости от движения среды отраженная и прошедшая волны
лредставляются однократными интегралами. Анализ этих волн в случае
линейного источника, в том числе равномерно движущегося относительно
верхней среды, проведен в работе [376].
§ 13. Отражение ограниченных волновых пучков
В гл. 1 мы рассматривали отражение плоских волн от слоистых сред. Однако
плоская волна является идеализацией. На практике приходится иметь дело с
более или менее ограниченным волновым пучком. Для исследования
особенностей отражения ограниченных пучков мы применим использованный в
предыдущем параграфе метод разложения падающей волны на бесконечную
совокупность плоских воли. Исследованию распространения и отражения
волновых пучков посвящена обширная литература [3, 110, 222, 305. 339,
395. 439, 479, 482, 502-504, 552 н др.]. Наше изложение основано на
работах [46, 90, 91].
Пусть монохроматический волновой пучок падает нз однородной жидкости
(параметры р, с), занимающей полупространство г > 0, на границу 2=0,
причем поле pt падающей волны задано на некоторой плоскости 2 = h > 0.
Примем для простоты, что от координаты у звуковое давление р{ не зависит
(рис. 13.1). Разлагая p,(x, h) в ишеграл Фурье и пристраивая к каждой
гармонической компоненте плоскую волну, получаем, как в
пределения амплитуды поля по сечению пучка. Координата^ перпендикулярна
плоскости падения
278
п. 12.1, интегральное представление падающей волны при z <h:
Pf(*.*)= 7 Ф(")ехр{'?["*+Vl-<Z2(*-z)]№, (13.1)
Ф(") = I Pi(x, Л) мр (-ikqx)dx. (13.2)
2п - ~
Функция Ф(<?) имеет смысл спектра падающего пучка по плоским волнам,
определенного при z = h. В дальнейшем для краткости мы будем называть
Ф(<?) просто спектром. Отраженное поле будет иметь интегральное
представление (ср. (12.7))
pr(x,z)= f $>(q)V(g)exp{ik[qx + Vi -"2(* +z)]}dit, (13.3)
где V (q) s | V (<?)| exp [i^{4)} - коэффициент отражения плоской волиы,
угол падения которой в " arcsin qr. Наша задача состоит в исследовании
отраженной волны (13.3).
13.1. Смещение остронаправленного волнового пучка ири отражении. Будем
предполагать, что поле р,- представляет собой плоскую вопиу с огибающей
Ф;(х, z):
pj(x,z) = Ф,(х, z)exp{/fc[x sin 0О + Ф. - z)cos 0О]}, (13.4)
где Ф,- -> 0 при ! х | -> 00 и In Ф/ меняется на величину порядка единицы
на расстояниях Ах - w. Ширину пучка w считаем большой по сравнению с
длиной звуковой волиы. Тогда спектр Ф(д) имеет максимум в окрестности я =
Яо = sin0О и спадает до нуля при \ я~ Яо\^ (kw)'1 Например, при
пропускании плоской волны через щель шириной 2а в непрозрачном экране,
совпадающем с плоскостью z =/i, приближенно имеем: Ф,(х, h) =А в пределах
щели и Ф,-(х, й) = 0 вне ее. Для пучка с такой ''столообразной" огибающей
получим, согласно (13.2),
Ф(Я) ~ А[1гка(я-Яо)]~1^пка(я-Яо)- (13.5)
Когда | я ~Яо I ^ (ка)'1, отношение Ф(я)1Ф(ц0) мало. Мы видим, что при kw
> 1 волновой пучок является остронаправлеиным. Прн w->°° он переходит в
плоскую волну, а Ф(д) (с точностью до нормировочного множителя) стремится
к d(q -Qo). Угол 0О будем называть углом падения пучка.
Определим огибающую отраженного пучка равенством Фг(х, z)~pr (х, z) ехр
[-ik(x sin 0О +(й + z) cos 0o]fV(qQ).
Согласно (13.3)
*,&,z)=V(q0yl } Ф(q)V(q)X
Xexp{ifc[(<jr - 9о)лг +(\/l -Я2 i-y/l -ql)(h +z)]} dq. (13.6)
Рассмотрим случай, когда 1 V I мало меняется в пределах углов падения,
где сосредоточен спектр Ф(с?). При этом I V(q) ! можно вынести за знак
интеграла при я~Яо - Функции у (я) и (1 - <?2)*/2 разложим по степе-
279
ням q -q0 и ограничимся двумя первыми членами разложения^ Тогда
<tr(x, г) = / Ф(9)ехр{Л(9 - q")[x + *'V(<fo) - (Л +z)tg0ol> dq =
= ф,(* + *'V(?o) - г tg 0",0), (13.7)
где штрих означает производную от функции по ее аргументу. Таким образом.
