Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
265
Следовательно, _______
1 " ехр(/'%/м2 +12) .. , ,
Qi(u, и)я / 7 ("-*) dt+ 2 afvl.
(21- 1)! о V"2 + ** >=0 (12.59)
Дифференцируя (12.59) по и, находим а;- = (ft)'1 d*Qi(dv'\v=o -- (-\VQi-
jf2 (". О)//!. В частности, dQx (и, 0)/du = (- л//2)Я о*1* (").
Ограничимся случаем достаточно малых | п2 - 11, так чтобы в соотношении
(12.57) для рг третьим и последующими членами ряда можно было пренебречь.
Тогда
pr-(m- 1) (т + l)_,Kf!exp(ifcRi) + кт(т + 1)_а(л2 - l)Qi(kr, k(z +z0)).
где по (12.59) <12'60)
Qt(u, v) = J ехр [iVu2 +1*] (и2 +t2)'I/2(u- t)dt + о
+ ie'"[l-(ir/2")1/Je-'*'4]. |u|"l. (12.61)
Функцию Ханкеля в выражении для ZQijZv мы заменили асимптотикой
(12.13). Остается исследовать интегральный член в (12.61). Интеграл от
второго слагаемого в круглой скобке вычисляется элементарно. Для
вычисления интеграла от первого слагаемого сделаем замену переменных по
формуле (и2 +12)1^2 - и = s2:
/ dtехр(/у/и2 + Г2)/\Ju+ =
= 2е'" / ds eto' / s/s2 + 2м, г" = vV + и2)1/2-и. (12.62)
О
В интересующем иас случае, когда я/2 - 0о ^ 1, получаем So =
, 1 /я \
= 2fc/?1sirt - Г - - 0О I ^ u = fcKjSin0o. Пренебрегая в (12.62)
величиной s2 по сравнению с 2м, величину (?i легко свести к интегралу
вероятностей (11.47). Окончательно получаем
exp(/fcftj) fm-1 imkRiin1 -1) г )
pr = - ---------------- +-----------^-- [ 1 (erfw + 1)] ,
Rx lm + 1 (m + l)2 - v 1 "Г
3w.;4______._____ /7Г 0o \ (12'63)
w = e3**'4 у/Шх sin f--~~J.
Если в верхней среде нет поглощения, то значение к вещественно и erf iv
при помощи формулы (11.48) можно выразить через интегралы Френеля от
вещественного аргумента. Из формулы (12.58) хорошо видно, что в (12.57)
разложение фактически ведется по степеням kR х (п2 - ^.Следовательно,
соотношение (12.63) позволяет приближенно найти отраженную волну при
условии
|WJ,(1 -n2)l<l, (12.64)
противоположном условию применимости асимптотик (12.30), (12.29). Кроме
того, при выводе (12.63) мы предполагали | кг | > 1, г >z +20.
266
Относительное значение двух слагаемых в фигурных скобках в (12.63)
зависит от величины (т - 1 )/(п - 1). Если при стремлении т и п к единице
отношение (т - 1)/ (и - 1) остается конечным, что имеет место, например,
когда граница обусловлена скачком температуры в среде, то членом (т - 1)1
(т + 1) можно пренебречь. По своей структуре соотношение (12.63) очень
близко к (12.45). Это неудивительно. Легко проверить, что френелевский
коэффициент отражения (12.55) с точностью до квадратичных ло t членов
совладает с умноженным на (т - \ )}(т + 1) коэффициентом отражения
(12.45) от поверхности с импедансом Z =
Рассмотрим два предельных случая. Если л/2 - в0 | kRt |-1^2, то I w>|
1 и (12.63) дает не содержащее в0 предельное значение, причем для
достаточно малых | т - 1 1 величина |рг| ik(n2 - 1)/4 не зависит от J?,.
В обратном предельном случае, если л/2 - в0 ^ (т.е.
k{z + Zo)2!Я\ > 1), то | w\ > 1 и интеграл вероятностей можно заменить
его асимптотикой (11.49). Тогда из (12.63) находим
Эго же выражение мы получим, разлагая в лучевом выражении рг = - К (sin
6q)R{ 1 QXp(ikR,) коэффициент отражения в ряд по степеням я* - 1 и
ограничиваясь двумя первыми членами. Таким образом, в рассматриваемом
случае (12.63) переходит в результат геометрической акустики.
Простые асимптотики звукового поля, содержащие только элементарные
функции, удается получить в случае z = z0 = 0, т.е. для источника и
приемника, лежащих на границе раздела*) [230,.369, 471]. Мы не будем
заранее предполагать близость значений п и т к единице и проведем
выкладки в общем случае. Коэффициент отражения V (q) представим в виде
(12.26) н подставим его в (12.9). В интеграле от У2 сделаем замену
переменной q = пи. Тогда для полного звукового давления р = R'1 exp(ikR)
+ + рг лри z =z0 = 0 получаем
Оба интеграла имеют форму (12.24). Множители, выписанные после функций
Бесселя, (обозначим их g и #0 являются четными функциями переменной
интегрирования. Чтобы нх можно было считать гладкими на контуре
интегрирования, будем предполагать, что мнимая часть показателя
преломления Im п Ф 0, хотя н может быть как угодно мала. Асимптотика
интегралов этого типа исследовалась в § 11. По формулам (11.98), где в
*) Известно также точное решение задачи [2, гл, 3, § 7].Оно выражается
через неполные цилиндрические функции.
= 2рс(1 - т2) т 1 (1 - и2) 112
R1 I и + 1 2(те + 1)2(1 - sin 0О)
(12.65)
267
нашем случае R а г, в = ir/2, и (11.100) находим
-2йи3(1 + //fcr)exp iikr)jr Р fcr(l -л2)- i(m2 - 1)(1 +i/kr)
'2/тл2(1+i/fc1r)exp(ffc1r)/r 1 /1 1 \
fcfrTW2(l-л2)-/и2(т2 - 1)(1+*/?]/¦) г3 ЧА2 к\/
(12.66)
Этот результат был получен Стиклером [5161. Здесь первое слагаемое
соответствует волне, распространяющейся в верхней, а второе - в нижией
среде.
Значение соотношения (12.66) обусловлено его простотой и
универсальностью. Оно может быть использовано для проверки более сложных
асимптотик, описывающих поле излучателя над границей. Можно убедиться,
что полученные в п.п, 12.2 - 12.4 результаты, а также формула (12.63)
