Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
особенно - при докритических углах падения. Напротив, в условиях
применимости классической теории поправки к Дм очень малы.
В ряде экспериментов по эффекту Гооса - Хеихен измерялся не сдвиг
максимума огибающей пучка, а смешение определенных средних величии.
Рис. 13.4. Угловая зависимость смещения прн отражении пучка с очень узким
спектром при учете диссипации, нормированная на величину смешения при q9
~ Re п (7); смешение без учета поглощения (2)
Рис. 13.5. Смещение пучка при q0 = Re и в зависимости от величины
поглощения: / - величина Дд^ для пучка гауссова типа с конечной шириной;
2 - смешение пучка с очень узким спектром
286
Будем характеризовать пучок осредненным по периоду звуковой волны
квадратом звукового давления. Тогда координаты ''центров тяжести" х' и
падаюшего и отраженного пучков на границе раздела сред даются выражением
xj'r= j х | >r(x, 0) |2 dxj / | Ф,^(.х, 0) \2dx. (13.21)
Величина Ac = x* - x* характеризует смешение пучка с произвольной
огибающей, не обязательно имеюшей выраженный максимум. Если пучок
смешается как целое, то Ас = Дм , если же при отражении происходит
деформация огибаюшей, то, вообше говоря, Ас Ф Ам.
Выразим Дс через спектр пучка по плоским волнам. Заменяя в выражении | Фг
| 2 = ФгФг* интегральным представлением (13.6) и интегрируй но х ,
получаем
f I Фг(х, 0) l2dx = f dq\A(q)\\
(13.22)
+<в ^ +вв - f A'(q) I
/ х | Фг(*,0)\ dx ~ -~-г~ / dq\A{q)\2 lm --- .
к2 -" I A(q) J
Здесь A (q) = Ф(<7) V(q) exp [т'ЛЛ (1 -q2)1 ^2] - спектр отраженного
пучка по плоским волнам ехр {ik[xq + z (1 - q2)1^2]} ¦ Аналогичные
интегралы для падаюшего ноля получаются нз (13.22) заменой V(q) на 1.
Предполагая, что модуль коэффициента отражения мало меняется в
существенной области интегрирования, нз соотношений (13.21), (13.22) и
(13.8) находим
М?о) = _/ \A(q)\2A(q)dql7 \A(q)\2dq. (13.23)
Если h мало, а 1тФ(<?) =0, то для справедливости формулы (13.23) нет
необходимости предполагать малость изменений I V (<7) | . Важно
подчеркнуть, что формула (13.23) дает смещение ''центра тяжести" любых
пучков (в том числе - с широким спектром) прн отражении от произвольной
слоистой среды. Эта формула имеет ясный физический смысл: смешение Ас
пучка с конечной угловой шириной получается суммированием смешений (13.8)
отдельных плосковолновых компонент (пучков с бесконечно узким спектром) с
весом, который имеет данная компонента в разложении пучка по плоским
волнам..
Вернемся к анализу смешения остронаправленных пучков на плоской границе
раздела однородных сред. Поскольку мы ие рассматриваем здесь предельный
случай касательного падения, то значение Ф(<?) пренебрежимо мало при<7>
1,н формулу (13.23) можно упростить:
Дс = - 7 I *("?) |V(<?)d?/(* 7 \*(4)V(q)\dq). (13.24)
Л --ее
287
Функцию ч?' (q) при <?>л, используя (2.34), удобно представить в виде
V \q)~-b(q)(q -п)~Чг,
b(q) = 2mq(\ -П2)[(1 -q2 )(<7 +")] l/2/[ms(l -q2)+42 -я"],
(13.25)
аналогичном (12.26). Под интегралом (13.24) функцию b(q) можно считать
медленно меняющейся.
Когда падающий пучок задай своим спектром (13.13), вычисление интегралов
в (13.24) производится так же, как и при определении Д^, и приводвт к
равномерному по углу падения выражению для смещения ''центра тяжести"
волнового пучка, .отличаюшемуся от (13.18) только заменой иг на 2i^2ul,
Другими словами, смешение ДД/ пучка гауссова типа совпадает со смешением
максимума огибающей пучка того же типа, но с шириной огибающей, большей в
2* I2 раз. Поэтому максимальное значение Ас больше, чем максимальное
значение Д;Д/. Смещения Ас и Дд* совпадают только при закритических углах
падения вне переходной области, когда деформация огибающей незначительна
н пучок смешается как целое В соответствии с классической теорией.
Рассмотрим теперь смещение при отражении пучка со столообразной
огибающей. Подставляя в (13.24) формулу (13.25) и спектр пучка (13.5),
обычным образом получаем равномерное по углу падения выражение для
смещения [90]
Дс(?о)= JrV~?o)[ 1-^УМ(я°-п)\
(13.26)
где
*/(и) = / +u)-2sin3(fca(f + u))rff, /=1,2. (13.27)
о
Функции/,-(и) удается выразить через интегралы Френеля ChS (их свойства
описаны, например, в [240, гл. 7]):
2(ka)3f2 \ " ям2
= Г/i' з- *S(w) + trw2C(")-"sin - ± я ' и I 2
± [яи25(и) - С(ы) + и cos ] |,
*¦ 2 J j (13.28)
/ яАгдЧ1/2 f пи2
|C(u)+?rW2?(u)+UCGS +
*|s(") - пи2С(и) + ы sin ~jj *
где и - 2 | kav/n |1 ^. Здесь верхние знаки берутся при у < 0, а нижние -
при и > 0. Из соотношений (13.26) и (13.28) следует:
4 Г 2 ап Л1'2
При ка(п - <7о)^ 1
дс(</о)-Ь(?о) {1 - [2ка(п ~ q")ln] ~1/2 cos(2fce(n - ?0) + */4)) X X
[4*2в("-<?о)3/гК(9о)Г'. (13.29)
При ka(q0 - и) ^ 1 получаем Дс = Д. Зависимость смешения ''центра
тяжести" пучка от угла падения показана на рис. 13.6.
Асимптотические формулы для смешений Д^ (</о) и Дс пучков некоторых
других типов получены в [90].
Сопоставим формулу (13.26) с результатами по смешению максимума огибающей
и ''центра тяжести" пучка гауссова типа. При закритических углах падения
