Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
переходят в (12.66) прн в0 = я/2. Соотношение (12.66) описывает поведение
звукового поля при г -+ <". Оценка погрешности, однако, ничего не говорит
о том, как зависит область применимости формулы от т и л. При т > 1, л Ф
1, как следует нз (12.49), для применимости (12.66) должно быть велико
численное расстояние, т.е. кг > т7 > 1. Из симметрии задачи ясно, что при
т ^ 1 также должно выполняться жесткое условие кг > т'7 > 1. Напротив, на
слабой границе раздела соотношение (12.66) применимо даже при умеренных
значениях кг, поскольку при т = 1 и любых л и г, а также при л = 1 и
любых т и г (12.66) переходит в точные результаты. Действительно, когда m
= 1 илн л = 1, g становится линейной функцией от q2, agj - от и2, н
совпадение (12.66) с точным результатом следует из замечания после
формулы (11.100). Отметим также, что при и - 1 и выполнении неравенства
(12.32) соотношение (12.66) сильно упрощается н переходит в следствие
полученных методом перевала формул (12.21) - (12.23):
2 im2 exp(/fcr) 2/л2 exp(/fe,rj
Р л2 - 1 кгг т(п2 - 1) fc,r2
кг > 1, kxr > 1. (12.67)
Вернемся к анализу поля точечного источника, расположенного над1 слабой
границей раздела. Полученные выше результаты, как мы видели, позволяют
вычислить звуковое давление в отраженной волне в двух предельных случаях,
- когда |л2 - 1 | мало или велико по сравнению с (Ш\У1. В промежуточном
диапазоне расстояний, где kR\ \ п2 - 1 | =* 1, асимптотику поля не
удается выразить через известные специальные функции. Обзор выполненных
до середины 60-х годов работ, посвященных задаче о слабой границе
раздела, в том числе - в случае упругих лолу-пространств, дан в статье
[237]. Позднее Стиклер [516, 517] опубликовал асимптотику поля отраженной
слабой границей волны в терминах функций параболического цилиндра. Этот
результат, однако, является ошибочным. В работе [99] показано, что в
случае п ^ 1 подынтегральная функция в (12.10) не удовлетворяет условиям
гладкости, необходимым для применимости использованного в [516, 5171
метода асимптотической оценки интегралов из статьи [363].
268
Асимптотику рг можно построить методом эталонных интегралов, если ввести,
исследовать и табулировать новую функцию, в интегральном представлении
которой могли бы сближаться перевальная точка, две точки ветвления и,
возможно, полюс, как в интегральном представлении pr (12.14). Такой путь
был намечен в работе [236], но он связан со значительными трудностями.
Между тем, оказывается эффективной прямая численная оценка волнового поля
по его интегральному представлению. Существенна также гибкость численных
методов - их способность единообразно трактовать целые классы задач. Так,
при расчете р численным интегрированием разложения поля п(c) волнам с
гармонической зависимостью от горизонтальных координат (в однородной
среде - по плоским волнам) не представляет сложности учет произвольной
направленности источника или приемника, наличия набора слоев между
полупространствами и тд. Весьма сходные методы применяются при вычислении
поля точечного источника, расположенного над границей раздела сред, в
волноводе или антиволноводе [6, 99, 187, 188, 356, 426, 450, 502].
Разложение поля сосредоточенного источника в упругой среде на
гармонические волны с последующим численным интегрированием стало
основным методом, используемым в современной сейсмологии (см., например,
[5, 356, 368, 417, 440, 502]; [4, гл. 9] и другие).
Для численной оценки волнового поля, отраженного от границы раздела,
используются также интегральные представления другого типа. Как мы видели
выше, при падении сферической волны на границу с коэффициентом отражения
V (q) = const отраженное поле рг равно полю точечного мнимого источника.
При отражении от импедансной поверхности или границы раздела однородных
сред поле рг также можно свести к полю мнимого источника [126, 436, 540],
[260, гл. 5]. Однако этот источник в общем случае будет не точечным, а
распределенным вдоль прямой в комплексном пространстве. Суммирование
вкладов элементарных точечных излучателей, составляющих мнимый источник,
является эффективным методом вычисления электромагнитного поля точечного
излучателя, расположенного над границей полупространства с большим
значением диэлектрической проницаемости [436, 447, 483]. В акустике этот
подход может оказаться полезным для расчета поля, отраженного от границы
сред с резким плотностным контрастом.
Остановимся подробнее на численной оценке поля по его разложению на
плоские волны, Сделаем в (12.14) замену переменной и = u(q) по формуле
q sin 0О + (1 - Q2)1*2 cos 0o = I - v2/a. (12.68)
Можно показать, что деформация контура интегрирования в комплексной
плоскости и к прямой Im и = 0 не меняет значения интеграла (12.14). На
этой прямой экспонента под интегралом осциллирует, сохраняя постоянным
значение своего модуля. Это позволяет выразить отраженное поле через
интеграл Фурье:
= ( - y/2e/"/4 + "S, dve-HKR,\S р ^ =
