Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
При cos(y? - ф) <0 иа интервале интегрирования нет стационарных Точек.
Асимптотику Ф| в этом случае можно иайти по формулам (11.15), (11.16).
Поскольку подынтегральная функция в (12.72) обращается в нуль при q = 0,
разложение Ф! начинается о члена (кЯ(ф))~3^2 при cos(tp - ф) = 0 и с
члена (fcft(^))-2 при cos(ip - "//)< 0. Следовательно, диапазон значений
ф, прн которыхq0 <0, дает пренебрежимо малый вклад в рг.
Интеграл, получающийся при подстановке (12.76) в (12.71), также допускает
оценку методом перевала. Стационарные точки показателя экспоненты
находятся из уравнения sin 2(ф - ip) =0. Из них иа контуре интегрирования
лежит единственная стационарная точка, удовлетворяющая условию q0 > 0: ф
= \р. По формулам (11.15), (11.16) и (12.76) находим два первых члена
асимптотического разложения ру по степеням к'1:
eifcJ?> Г iN 1
p'a!"irlK'(sin0o^)-^7J'
Ц
' Jq = sin
2 L дф dq q bq Jq=sm0o,ф=<?
(12.77)
Значения Л, и в0 определяются формулами (12.12) и (12.15). Если К, ие
зависит от ф, соотношение (12.77), как и-следовало ожидать, переходит в
соотношение (12.21). Отметим, что результат (12.77) можно получить также,
применяя к интегралу (12.7) двумерный метод стационарной фазы, изложенный
в п. 11.2.
Оценку р2 - второй компоненты отраженного поля - не удается найти методом
перевала. Если в (12.76) заменить Vг на V2(q - tfi)1/2, то амплитуда N1
поправочного слагаемого обратится в бесконечность при значении ф таком,
что ??о(^) = <7i(tfO- Для вывода асимптотики Ф2 необходимо явно учесть
возможность сближения стационарной точки и точки ветвления под интегралом
(12.72). Пользуясь равномерной асимптотикой (11.74) н повторяя
рассуждения, приведшие к формуле (12,29), находим
Здесь S = arcsin ??j("//), в - arcsin4о(ф), > 0. Диапазон
зиаче^
иий ф, при которых < 0, дает в компоненту р2 отраженного поля, как и в
pi, пренебрежимо малый вкпад.
Прежде чем перейти к дальнейшим выкладкам, по необходимости довольно
длинным, поясним их физический смысл. Как и в неподвижной среде, поле р2
состоит из зеркально-отраженной составляющей, к которой в определенных
областях пространства добавляется боковая волна. (Наглядная интерпретация
последней иа основе понятия о дифракционных лучах дана в п. 14.2.) Вдали
от границы области наблюдения боковой волны р2 можно найти, применяя для
вычисления интегралов (12.71) и
(12.72) метод перевала. В равномерной асимптотике (12.78) интеграла
(12.72) это соответствует выполнению неравенства I и \ > 1 во всей
существенной при интегрировании по ф области. Зеркально-отраженной
составляющей р2 и боковой волне в (12.71) отвечают стационарные точки ф~
\р и ф = ф^, где фх определяется из уравнения (12.80). (Угол ф1 задает
азимутальное направление выхода из источника дифракционного луча,
приходящего в точку наблюдения. Угол \р олределяет азимутальное
направление обычного, зеркально отраженного границей луча, который
заключен в вертикальной плоскости, проходящей через приемник и источник.)
Вблизи границы области наблюдения боковой волны, где поле р2 разделяется
на зеркальио-отраженную составляющую и боковую волну, стационарные точки
фх и <р сближаются. Одновременно становится необ-18. JLM. Бреховскнх
273
ф, =
4н3ехр[1кЯ(ф) +ц2/4 - 9гтг/S]
(12.78)
т2sin 0 cos в cos2 ------------- [0,5 sin (в + 8)1 sin 8 cos 8 j1^2
и2 [sin28 + (m2cos28 - и2) (1 -Mn~' sin в cos i//)2]
и = 2e3nit4(кЯ(ф))211 sin -
(12.79)
ходимым использовать для Ф2 асимптотику, содержащую функции
параболического цилиндра. В этом случае интегрирование по ф удается
провести при помощи эталонного интеграла (12.83). Поведение звукового
поля в окрестности границы области наблюдения боковой волны, а также
равномерная асимптотика р2, справедливая при любых во и iр, описываются,
как н при отражении от неподвижного полупространства, функциями
параболического цилиндра.
Перейдем к выводу асимптотики р2. Когда \ и\ > 1, функции Dv (и) в
(12.78) можно заменить их асимптотическим разложением (9.38). Тогда при
Reu > 0 формула (12.78) переходит в (12.76), где под V\ нужно понимать
V2(q ~ qx )1/2. В интеграл (12.71) в этом случае основной вклад дает
окрестность стационарной точки ф ~ у. При {ы [ > I, Re и < О асимптотика
Ф2 содержит дополнительное слагаемое с фазовым множителем exp[f'fcR(^) +
и2/2] = exp[/&?(i?)cos(0 - 6)]. Показатель экспоненты имеет стационарную
точку ф= фг; Уравнение на фх при учете (12.75) можно записать в виде
sin(0i - ф) = [ctg 6(фхУ cos{фх v?) ctg 2), (12.80)
Когда Iu I ^ I, |(9/8V/)A,(u)| a. | Эи/3*I < | fcR(^)|1/2. Поэте-
му, если значение ф не близко к стационарной точке ф~ \р,то множитель при
ехр[/ЛЛ(^)] в (12.78) меняется медленно по сравнению с экспонентой.
Следовательно, основной вклад в интеграл (12,71) при | и | ^ 1 вносит
окрестность точки ф ~\р.
Рассмотрим сначала случай | 6q - 6(ip)| < 1. Из (12.80) находим
ф, = ^ + 5'(rt[sin20o +(SV))aJ''[""-"Wl +0([9"-6(^)]2). (12.81)
Таким образом, | фх - \р | < 1, и как при | и | ^ 1, так и при | и \ ^ 1
