Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
на отраженной границе Ф,.(х,0) = (х + к~х\р' (ty0) > 0). Другими словами,
прн отражении пучок смешается вдоль границы как целое иа величину [46]
Д(<?о)=-*"УО?о) = -(*со *вьУЧЪфв)в=во. . (13.8)
В дальнейшем огибающая пучка перемешается вдоль луча с углом отражения
0О. В литературе формулу (13.8) часто называют классическим выражением
для смешения. Отметим, что теория смешения остроняправлениого пучка при
отражении имеет много аналогий в теории распространения ква-
зимоиохроматического импульса в диспергирующей среде (см., например [83,
§ 21]). В § 16 будет показано, что смешение при отражении (13.8) нужно
приписывать и отдельным лучам.
Физический смысл величины Д становится ясным после рассмотрения
следующего простого явления. Пусть плоская волна exp{jfc[<?x-(1 -
t?2)1^2]) падает иа границу z - -h, коэффициент отражения от которой
равен единице. Отношение отраженной волны к падающей при г=0, равное V =
ехр (2/ №(1 - ?2)1/2], можно рассматривать как коэффициент отражения от
плоскости г = 0. По формуле (13.8) находим Д(??о) = = 2h tg в0; значение
Д равно горизонтальному смешению луча при проходе его от плоскости z - 0
до плоскости z = -/t и обратно. В рассматриваемом случае Д можно было
вычислить, конечно, без обращения к формуле (13.8). Однако основную
ценность полученный выше результат представляет в случаях, когда пучевая
концепция неприменима. Некоторые из иих будут рассмотрены ниже.
Смещение при отражении испытывают волновые пучки различной физической
природы. Причиной смешения является зависимость фазы коэффициента
отражения от q, меняющая условия интерференции плоских воли в отраженном
nyWe по сравнению с падающим. Для остронаправлеиного пучка зависимость
\p(q) проявляется как эффективное смешение отражающей границы в г-
направлении на величину, зависящую от угла падения. В отдельных случаях,
как будет видио из дальнейшего, смешение при отражении допускает и другие
наглядные интерпретации.
Пусть волновой пучок падает иа границу раздела однородных жидкостей.
Коэффициент отражения дается формулами (2.27), (2.34). Если показатель
преломления 1, то V вещественно и Д = 0. При и< 1 смешение Д = 0 для
углов падения 0О < 5 = arcs in п. Когда в0 > 5, пучок испытывает полное
отражение, которое, согласно (13.8), сопровождается смешением Д = 2т(1 -
"2)tg0o(sin20o -n2)~ll2[k(m2 cos20o +sin20o - и2)]'1,
6 <0O <тг/2. (13.9)
Значение Д велико по сравнению с длиной волиы при 0<> или в0 "тг/2.
Отметим, что Д-*0 при к 280
Смешение при полном отражении, предсказанное еше И. Ньютоном для световых
корпускул, впервые наблюдалось в 40-х годах нашего столетия Ф. Гоосом и
X. Хенхен в оптических экспериментах. Его называют эффектом Гооса -
Хенхен. Обширная библиография, описание истории вопроса, детальный обзор
теоретических и экспериментальных результатов, полученных к началу 70-х
годов, и многочисленных областей применения этого эффекта содержатся в
[439].
В соответствии с (13.8) смешение пучка дри отражении будет значительным в
тех случаях, когда фаза коэффициента отражения быстро меняется с углом
падения. Подставляя в (13.8) функция \p(q), найденные для различных задач
в гл. 1, можно найти величину смешения пучка. Так, коэффициент отражения
плоских воли на границе жидкости и твердого тела дается формулой (4.38).
После простых выкладок получаем при ktfk<q<\ 2А ЪВ
ip (1310)
где _______
*4 г/ k2\2 -1 /1Л ^2
К* Л. 2 К* \ >2 ?2 U П\ V* "
А =
4m*4' |Л' 1) ' " 'J
Здесь ?= kq; k! t - волновые числа продольных и поперечных вЪлн в твердом
теле. При 0<q <к~1кг смешение Д = 0. Формулу для Д(д) в случае к{ < kq <
kt, которую также нетрудно получить из (13.8) и (4.38), мы не выписываем.
Отметим, что Д <" при ? -+ kt и ? -+ к.
Обычно величина А значительно меньше еднницьг. Поэтому пучок испытывает
заметное смешение и при таком угле падения волны, что фазовая скорость ее
следа на границе, равная c/q, будет совпадать с и# - скоростью волны
Рзлея на свободной границе твердого тела (см. § 4). Действительно, при ?
= ?д, где ?я = to/ид, со- частота волны, vr - скорость волны Рэлея, ?(?)
=0 согласно (4.100), и, следовательно, Д А'1, а при ?=??я величина
смешения Д ^ А. Используя обозначения (4.110), из (13.10) получаем
[504]____________________________________________________________________
__________________________________
/ с \ 2\т " / r(rs - 1)
Д( )= - [6(1-")-2(3-2,)S + s2]V --
\vR ) >r(l-?s) s(l-s) (13.10a)
Здесь X = 2?r/fc - длина звуковой волны в жидкости. Существует простая
связь смешения (13.10а) с затуханием ''вытекающей" волны, рассмотренной в
п. 4.4. (Это затухание обусловлено оттоком энергии волиы в жидкость.)
Дисперсионное уравнение (4.109) имеет вид?(?) + iA - 0. При малых А его
решение ?; = ?д - iA/B1 (?д) + 0(А2). Следовательно,
Д(Фд) да2Дт?,.
Экспериментальное подтверждение результаты (13.10) и (13.10а) получили в
работе [504]. На рис. 13.2, взятом из работы [504], изображена снятая при
помощи теневого метода картина полного отражения монохроматического
