Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
весь существенный при интегрировании диапазон значений ф заключен в малой
окрестности точки ф - \р. Разложим м(ф) и Л(ф) по степеням ф~ \р. Для
вычисления главного члена асимптотики достаточно удержать в этих
разложениях по два члена (и ^u(ip) + и'(\р) (ф - v?), R ^Rx (1 - 0,5
sin20o * X (iр - V?)2))" а медленно меняющиеся функции заменить нх
значениями при ф = ч?> В (у) - в0. Переходя к интегрированию по и, имеем
2w3exp(ifcR1 - 5in/8) [l +0(| 0О - 8(\р) \ + 1/АД i)]
Pl nutty) (it sin30ocos0o)I/2(AK1)3/4
х '"Г + i^bLDi/2
и(<р)~Д I uty) J
(12.82)
где b = kRx^iv^S0j2[u(\p)\2, А = ituty)(2, | А ( > 1. Не меняя оценки
погрешности, интегрирование в (12.82) можно распространить на всю прямую
и = s ехр (- /я/4), - 00 < s <+ Тогда (12.82) сводится к двум известным
интегралам [221, с. 163] вида
а2 (12.83)
Q - 1--------.
2 Ь
274
Полагая а = ехр(-/тг/4), после простых выкладок находим
23f2kn3exp[ikR1 +u2(\p)/4Q-7irif&] msixi$l26QCo$1t260(kRl}st*Q~1t4
х {ji;2(u>) + Ai{f)u~l [l +0(^ +l9o-8(rtl^]
"1 = u(4>)Q~1/2. 6=1 + [5'(ip)]2cos2 - ¦ siir2a
Рассмотрим теперь другой случай: | и(у)\ > 1, | и(фi) I > 1. Как показано
выше, при этом р2 можно оценить методом перевала. Вклад стационарной
точки ф = <р в р2 можно вычислить по формулам (12.77), заменив в них Vx
на V2(q - q\)1!2 ¦ В сумме с (12.77) этот вклад дает геометроакустическую
компоненту отраженного поля н поправку к ее амплитуде и фазе порядка
I/fcftj. При 0(^i) > 5(\//i) появляется вторая стационарная точка ф =
\|/|. Она дает дополнительный вклад р{ в отраженное лоле (боковую волну):
Pl = 2in3 (кт)~1 {[DR3 (ф) sijv3(0 - 5) sin35cos5]-1/2 X
X ехр cos (0 - 6)]} у f
a3 (12.85)
D --------------------- R (ф) cos (0-5) -
Э ф
~r sin 5{ctg0o[5"- (S')2 ctg 6]+cos(^/- i^)[l +(5')3(1+2ctg25) -
5"ctg6]}.
Пусть | 0o - 5(y?)| " 1, тогда | и(^)| ^ 1- Если при этом | и{фх )| ^ 1,
то \ 9(ф\) - 6(\//i)l < 1 и согласно (12.80) \ф2 - у I 1. Следовательно,
|0о -&Ш " \в(Ф1)-д(ф1)+[в,(ф1)-8,(ф1)](.р^ф1)\ < 1.
Полученное противоречие показывает, что рассмотренные выше два случая-
|0О - 5(^)| < I и |к(у>)| > 1, !u(i^i)| > 1 - исчерпывают задачу. Три
последних неравенства могут выполняться одновременно. Когда углы 0О и
5(у>) имеют близкие значения, легко найти явно приближенное решение
уравнения (12.80):
01 -* " [00 -5 0")] 6'(rt/[sin20" + (6V))2]- (12.86)
Отметим, что в этом случае знак разности в(фi) - 5(\//i), определяющий
область наблюдения боковой вопны, совпадает со знаком 0О - 5(^).
Подставляя (12.86) в (12.85) и заменяя в (12.84) функции параболического
цилиндра их асимптотикой (9.38), можно убедиться, что в общей области
применимости метод перевала и соотношение (12.84) дают один и тот же
результат.
Полученные выше выражения для компоненты р2 отраженного поля можно
записать в виде единой формулы:
р2 = 5iexp(№K, + al/4){.D1/2(a2) + (B2 - l)a2'D3/2(a2)}, (12.87)
где функции B\t2 и и2 подлежат определению. При | ы2 | > 1 из (12.87) 18*
275
и (9.38) имеем
р2 ft* ?texp(fttAi){ В2и\!2-2-V2(- u2)"3/2 exp(ul/2) [1 -sgn(Reu2)]>.
Сравнивая фазы боковой волны в (12.85) к (12.88), находим
и2 = ехр(Зтг//4) (2fcRi)г{1 - cos [0(^i)"(r)(^i)] cosflo/cosfl^/i)}1^2.
Формула (12.88) будет давать правильные значения амплитуд
геометроакустической части р2 и боковой волны, если
Функции и(ф) и Л(ф) определены в (12.79). Выражения (12.87)-(12.90) при |
в0 - 5(<р)| -4 1 переходят в (12,84), а при М - 0, когда обе среды
неподвижны, сводятся к полученной ранее равномерной асимптотике (12.29).
Зависимость акустического давления от координат точки наблюдения
иллюстрирует рис. 12.8, построенный по формулам (12,77), (12.85), При
выбранных для расчета значениях параметров боковая волна отсутствует при
любых в0, если \р = тт. В этом случае ^сводитсяк зеркально-отраженной
компоненте поля. Качественно отличная картина наблюдается при \р = 0.
Осцилляции I рг I обусловлены интерференцией зеркально-отраженной
компоненты поля и боковой волнк. При Л:/?! < 50 последняя дает основной
вклад в рт, Периоды осцилляций амплитуды отраженного поля различны при
различных Л/, поскольку направление распространения боковой волны зависит
от скорости течения в нижней среде.
При анализе отраженного поля рг (12.71) мы не принимали во внимание
полюсы коэффициента отражения. Если полюс затрагивается прн деформации
контура интегрирования в (12.72), то он дает вклад*) в рг. Его можно
найти, вычисляя методом перевала интеграл по ф от вклада полюса в
(12.72). Кроме того, выше предполагалось, что критический угол полного
отражения не близок к rr/2 (|fcft("//)(l - sin6("//))| > 1 при ф = у и ф
= фх). В противном случае при значении ф, дающих основной вклад в рГу под
интегралом (12.72) сближаются точки ветвления: q = qx н?*1, Тогда, а
также при резком плотностном контрасте (m > 1 или т < 1) необходимо
специальное рассмотрение, аналогичное изложенному выше для случая
неподвижных сред.
Из работ, посвященных отражению сферической волны от движущейся среды,
