Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
компонентой поля. Поведение звукового поля в переходной об* ластн в
окрестности границы области наблюдения волны ps описывает формула
(12.54).
Асимптотика отраженного поля при падении сферической волны с учетом
возможного сближения полюса и перевальной точки впервые была построена
Зоммерфельдом [126, гл. 6] и впоследствии исследовалась многими авторами
(см. [259, 264, 297], [260, гл. 5]). Чисто лучевая теория звукового поля
в воде от излучателя в воздухе изложена в [396]. Точный волновой расчет
поля в воде в точке, лежащей на той же вертикали, что и излучатель в
воздухе, приведен в работе [544]. Отличие от лучевой теории заметно лишь
на таких частотах, когда удаление как излучателя, так и приемника от
поверхности воды не превышает длины волны. Отражение сферической звуковой
вопны от пористой среды, моделируемой поглощающим жидким
полупространством, рассматривалось в работах [355, 493] ; в более ранних
работах [289, 346] использовалась модель импедансной границы. В статье
[457] получено рекуррентное соотношение между коэффициентами полного
асимптотического разложения звукового поля в этой задаче, главным членом
которого служит формула (12.54). Сопоставление теоретических результатов
с экспериментальными данными и более полную библиографию читатель найдет
в работах [289, 457, 493].
12,5. Слабая граница раздела. Едва лн не самым сложным случаем задачи о
поле точечного источника, расположенного над плоской границей двух
однородных жидкостей, является отражение от границы раздела сред с
близкими значениями плотности, скорости звука н коэффициента поглощения,
когда т =" 1, п 1. При этом попарно сближаются точки ветвления q - - 1 и
q = ± п коэффициента отражения, рядом с которыми могут находиться и
полюсыqp (12.20).
Задача о слабой границе раздела представляет значительный физический
интерес. Например, изменение показателя преломления на границе вода -
морское дно может составлять малые доли процента [57]. Весьма мало
отличие значений т и п от единицы на границах водных масс в океане или
воздушных масс в атмосфере. Кроме того, в случае непрерывной
стратификации отражение сферической волны от переходного слоя между
средами с близкимичзначениями сир при довольно общих предположениях
сводится к отражению от слабой границы раздела [42]. Впервые возникающие
при п -> 1 особенности были отмечены в работе [41]. Когда т -*¦ 1, п -*¦
1 амплитуда звукового давления во всей среде стремится к 1JR, где R -
расстояние от источника. В случае kR ^ 1 геометрическая акустика дает
преломленную волну с достаточной точностью, и трудности возникают только
при вычислении поправок. Мы остановимся на исследовании отраженной волны.
264
Ее амплитуда мала, и проблемой является даже определение главного члена
асимптотики.
Выше, в п. 12.2 было получено условие (12.32) применимости лучевой
акустики для отраженной волны в окрестности критического угпа полного
отражения. При и-1,/и^1 оно сводится к неравенству | kRt(n2 - 1)| > ^ 1.
Его можно лолучнть также, потребовав, чтобы точка ветвления q - 1 ие
попадала в существенную для интегрирования окрестность 1
перевальной точки. Если, наоборот, 0О не близко к 5 2, то q = 1 не
по-
падает в окрестность точки перевала и никаких особенностей не возникает.
В (12.22) имеем N ^ О при п -> 1. Поэтому полученный методом перевала
результат (12.21) в пределе переходит в точное решение ps - (т - 1)Х X(m
+ l)-1K71exp(?A^?i). Таким образом, нам остается исследовать случай л/2 -
0О < 1. Эта задача была решена в работе [42].
Для анализа волны, отраженной от слабой границы раздела, естественно
разложить коэффициент отражения по степеням и2 - 1:
(1-г)1/2
У =------7 777Г= 2
Г('-° ' = 0 (12.55)
п2 -1 т - 1 т
( - -- Вл =----------------- В\ ~ -.
q - 1 т + 1 (т + I)2
Последующие коэффициенты могут быть найдены при помощи рекуррентной
формулы
(т2 -1 )Bi(m) = mBi(l) - Bt(m). (12.56)
Подставляя разложение (12.55) в (12.9), получаем
рг = к ? В,(п2 - \Шкг, k(z + z0)),
( = 0 . (12.57)
ч exP(Wi ~q2)qdq
Q,(u, ")-/ -------.
Так как радиус сходимости ряда- (12.55) равен единице, то при выводе
(12.57) контур интегрирования должен проходить в области 11 | < 1. Чтобы
удовлетворить этому требованию, точку q = 1 обойдем в IV квадранте по
полуокружности достаточно большого радиуса и снова вернемся на кон-тур у
(см. рис. 12.2). Поскольку подынтегральная функция не имеет полюсов на
верхнем листе, переход к такому пути интегрирования производится
беспрепятственно.
В получающихся интегралах Qi путь интегрирования можно совместить с
вещественной осью, от чего, конечно, значения Qj ие изменятся. Перейдем к
их вычислению. Как мы видели в п. 12.1, Q0- = (и2 + + v2)~lf ехр[|(ы2 +
и2)1/2]. При v = 0 и любом I интегралы Qi являются табличными [240, гл.
И]. Они выражаются через функции Ханкеля:
G,(ii, 0) = 1я(и/2)/-1/аМ1А-*(и)(2Г(1+ 1/2))'1. (12.58)
Дифференцируя Qt по v 21 раз, получаем bllQi (и, u)/du2t = Qo(u, v).
