Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
ф_ 2 \/(^2 - q2)ql(l - у2)
ту/1 - q2 -t-y/n2 - q2
Здесь Ф(s) выписано с точностью до множителя [1 + 0(1/W?i)] (ср.
(12.14)). Если прн деформации исходного контура интегрирования к У\
приходится обойти исходящий из точки q = п разрез, то в (12.47) нужно
добавить интеграл по его берегам. При т -> 00 его оценка не имеет никаких
особенностей и приводит к обычному выражению (12.23) для боковой волны,
согласно которому р/ -> 0 прн т Поэтому боковой волной в рассматриваемой
задаче, как правило, можно пренебречь. Это мы и будем предполагать. Как
показано в п. 12,2, другие точки ветвления подынтегральной функции
несущественны. Однако при т > 1 вблизи точки перевала s = 0 может лежать
полюс s(qp), где qp = 1 + (1 - л2)/2т2 + + 0(т~4) по (12.20).
Асимптотика интеграла с полюсом вблизи стационарной точки была построена
в § 11. По формулам (11.54) - (1.55) н (11.46) после простых выкладок
получаем
bx.p(ikRi) /3 in \
г"-л 4 - f -- + 1 X
pr -----------K(sin 0O) + exp (-+ ikR
R i \ 4
_ . , (2klr)42m2y/n2 - 1 ju
X (l+\/5ги ехр(и )(1+erf и)} ¦
f(m2-l)V2~"2)I1/4 '
,__________________________________________________ (12.48)
u=y/lkRxvtp(3m/4)sin((0p - 0o)/2). '
Здесь sinflp = qp, так что вр ="тг/2 + (л2 - 1 )1/2/т. Величину и2,
пропорциональную и характеризующую степень близости полюса и перевальной
точки, называют численным расстоянием. Формупа (12.48) дает равномерную
асимптотику отраженного поля, пригодную для любых значений 0О. При 0о =
я/2, когда источник и приемник лежат на границе раздела, для полного
звукового давления получаем из (12.48), сохраняя 260
только главные члены по 1/т,
p~2r~le,krY(u), Y = 1 + ч/5ше"2(1 +erf"), ы = е з"/4 ^(л2 _ i)fo-/m.
(12.49)
На абсолютно жесткой границе, соответствующей т = мы имели бы р =
2г_1ехр(/Аг). Множитель Y(u) (он фигурирует и в (12.48)) характеризует
дополнительное ослабление поля вследствие оттока энергии в ннжнюю среду и
называется функцией ослабления; Г(0) = 1, т.е. при достаточно больших m
ослабление отсутствует. При I и \ > 1 по формулам (11.47), (11.49)
получаем У = О(и~2). Подставляя это равенство в (12.48), видим, что с
точностью до членов порядка 0(k~2Ri2), которыми мы пренебрегали при
выводе (12.48), эта формула при больших численных расстояниях переходит в
(12.21). Отметим, что при т > 1 величина |и| может быть порядка единицы
или меньше, несмотря на то, что W?i велико. Так, для приемника и
излучателя на границе воды и воздуха (п ~ =5 0,22, г = Ri) | и \25 9 •
10"4 (кг)1/2. Отсюда видно, что условие | и \ > > 1 может оказаться
значительно более жестким, чем условие | kR\ I > 1. Таким образом, явный
учет полюса коэффициента отражения позволил существенно расширить область
применимости асимптотики звукового поля.
Рассмотрим теперь отражение сферической волны от импедансной границы. Для
простоты будем считать среду непоглошаюшей. Граница 2=0 предполагается
пассивней, т.е. не усиливающей звуковые волны. Поэтому вертикальная
компонен.а вектора плотности потока мощности (2.11) при z = 0 должна быть
направлена к границе раздела: 12 < 0. Используя определение импеданса
(2.20), перепишем это условие в виде 0 > /г = = - | р |7ReZ/2a>, или ReZ
> 0. Граница будет полностью отражающей, если ReZ = 0. (К тем же выводам
можно было придти, анализируя коэффициент отражения (12.45).)
Отраженная волна имеет интегральные представления: точное (12.10) н
приближенное (12.14) -(12.16), где V следует заменить на и. Уравнение
перевального пути уi (12.17) не зависит от характера отражающей границы.
Поскольку точка ветвления q = 0 функции Ханкеля несущественна, а и (?)
имеет только две точки ветвления q = ± 1, риманову поверхность можно
считать двулистной. В непоглошаюшей среде (а - 1) разрез проходит по
мнимой оси и отрезку [-1, 1] вещественной оси q (рис. 12.6). За
исключением небольшого участка, показанного на рис. 12.6 штриховой
линией, контур лежит на верхнем листе. Поэтому деформация исходного
контура интегрирования к 7! производится беспрепятственно, причем
значение интеграла по перевальному пути дает формула (12.21).
Дополнительный вклад в интеграл может дать полюс коэффициента отражения,
если он встретится при деформации контура. Положение полюса определяется
уравнением
быть расположен только в I н III квадрантах, а на нижнем листе, где Im
y/l - q2 < 0, - только во II н IV квадрантах плоскости q. Следовательно,
затрагивается только полюс, лежаший в заштрихованной на рис. 12.6 об-
или
(12.50)
Поскольку Rer? > 0, на верхнем листе, где Im\/l - q2 > 0,полюсможет
261
Рис. 12.6. Деформация конту-ров интегрирования в случае отражения звука
от имиеданс-ной границы в непоглощающей среде. Л - область расположения
полюсов qр коэффициента отражения, дающих поверхностную или вытекающую
волну. Поперечными штрихами выделен разрез. Контур 7 искусственно смещен
с вещественной оси q, чтобы показать его расположение относительно
разреза
пасти П, находящейся на верхнем листе между контуром У\ и вещественной
