Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
Здесь значения g(Sb) н А вьшисаны с точностью до множителя [1+0(1**,
Г1)].
Формула (11.74) содержит параметр о = ± 1, характеризующий относительное
расположение контура интегрирования и разреза. В частном случае, когда
разрез параллелен контуру интегрирования и уходит на бесконечность при
Ren' -* (как в случае (11.63)), параметр о определяется знаком lm(w& -
ws). В общем случае а следует выбирать так, чтобы при увеличении
расстояния между критическими точками асимптотика (11.74) сводилась к
вкладу перевальной точки, когда разрез не затрагивается прн деформации
контуров интегрирования, и давала дополнительно вклад точки ветвления в
противном случае. Согласно (И.75а), вклад точки ветвления отсутствует при
Reu > 0, где и = -iost,\2kR1 \уг. С другой сгороны, в п. 14.3 показано,
что боковая волна отсутствует и отраженное поле равно интегралу по
окрестности точки перевала, когда точка q = п лежит слева от контура 7j.
При \ п - qs\ ^ 1 это условие можно записать , в виде arg(H - qs) € (-я/4
- а/2. Зя/4 - а/2). На границах этого интервала величина и становится
чисто мнимой, внутри же интервала Reu > 0, если а = 1, Подставляя
найденные значения параметров в (11,74), получаем 23''3sin6exp[/fc/?i
cos2 ((0О - 5)/2) - 7/я/8] ^
^1 *i(fc*,)I/',m [sin0ocos6cos3((0o - 5)/2)]1/3
х \ощ(и).±-±ог,Ц [1+0(-)]. (12-29>
и = 2exp(3tf//4)(A*i)y2sm((0o - 5)/2).
До сих пор мы считали, что интегралы по контурам у и ух равны, т.е. тасло
пересечений у± с разрезом четно. Чтобы рассмотреть случай нечетного числа
пересечений, можно было бы вновь найти асимптотику интеграла по
перевальному контуру, при помощи эталонного интеграла (11.65) вычислить
асимптотику интеграла по охватывающему разрез контуру у2-сложить
результаты и убедиться, что для р7 вновь получается выражение (12.29).
Однако можно обойтись и без выкладок, физически ясно и может быть
доказано на основе интегрального представления (12.9), что звуковое поле
является аналитической функцией б. Поскольку левая и правая части (12.29)
- аналитические функции б, то по принципу аналитического продолжения
формула (12.29), доказанная при Reu > 0, справедлива и при Reu < 0.
251
Формулы метода перевала цляр! иформулы (12.29) дляр3 дают равномерную
асимптотику звукового поля в окрестности критического угла полного
отражения. Используя асимптотическое разложение (9.3$) функций
параболического цилиндра, нетрудно убедиться, что при | и\ > 1, Reu > О
соотношения (12.29) лереходятв (12.21), где под V(q) следует понимать V2
(q) (q - и) 1/12 . При ! u| > 1, Re и < 0 в асимптотике (9.3S) функции
Di/2 (и) появляется новое слагаемое, которое дает в звуковое пс>ле
добавку Pi (12.23).
Наибольший нитерес полученные результаты представляют в узкой окрестности
|0О - 6 | kR ! |-1/2 критического угла полного отражения,
где обычные формулы (12.21)-(12.23) неприменимы. При \q - п\ ^ 1 имеем |
V 3 \Jq - п\ < Vx (#) V (4) ~ 1,следовательно, основной вклад в рг, дает
pi. Главный член асимптотики рг по-прежнему имеет вид R~x F(sin0 0)ехР
(ikRO. Однако поправка будет не порядка (kRt) '.как в (12.21), а порядка
(kR t )-1/4, т.е. значительно больше. Эту поправку дает р 1. При | и\ ^ 1
значения функций параболического цилиндра порядка единицы, а коэффициент
при/)3у2 порядка (АЛ])-1/2 Используя известное разложение DXj2(u) в ряд
Тейлора (см. [240, гл. 19]) в интересующей нас области получаем
приближенно
ехр
Pr = P\ +Р2 ** -----
х[*+ ~~~ + ¦•¦]}• (12-30)
Пусть показатель преломления и веществен. Тогда с ростом /ч сокращается
угловой, но возрастает поперечный линейный размер области | и\ ^ 1, где
неприменимы формулы (12.21), (12.23) и необходимо использовать
асимптотику (12.29).
Своеобразные черты поведению поля вблизи критического угла полного
отражения придает наличие поглощения, препятствующее сближению
перевальной точки q$ с точкой ветвления q = п. При фиксированном
расстоянии R1 от точки наблюдения до изображения источника аргументы
функций параболического цилиндра в (12.29) по модулю ие м"иьше величины
2! kR 111/2 sh | lm 6/2| . Если поглощение достаточно велико, так что
|ыг0|,/г|1ти| >1, (12.31.)
то | и\ > 1 прн любых в0, функции Di/г,Г>3/2 можно заменить их
асимптотиками и простые формулы (12.21) -(12.23) позволяют найти
отраженное поле во всей области R{ > R0 верхнего полупространства. [Это
явление можно было предвидеть заранее, рассматривая угловую зависимость
коэффициента отражения плоских волн. Когда Im л = 0, графики модуля и
фазы фрснелевского коэффициента отражения имеют изломы прн 9 = 6- Учет
диссипации энергии в среде, как отмечалось в § 7, превращает угловую
зависимость V в бесконечно дифференцируемую (при вещественных в ).
Неравенство (12.31) показывает, при каких условиях функцию V (<?) можно
считать достаточно медленно меняющейся для применимости метода перевала.
(ikR,) Г 4ехр(т/8)Г (1/4) /п yV* Я, I mikRJD1/4 \2 1 /
252
Полученные выше результаты позволяют вычислить отраженное звуковое поле
