Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
(122-2)
(2nf /1(1,, ia ) = /d*> /exp [ir(* - f cos(^ - *>))] dr = i f
0 0 0
у dill, о Л -^cos^i
ф1=<р-ф.
(12.2.3)
Мы считаем, что в среде имеется некоторое, хотя бы сколь угодно ммалое
поглощение, так что Imfc > 0 и eikr -*• 0 при г -*¦ Подставляя в (1:12.3)
значение табличного интеграла, находим j4(?i, ?2) * i(2n\/k2 - ?2 2)
Таким образом,
Последнее выражение, описывающее поле в плоскости ху, нетру>удно
"продолжить" в пространство. Как известно, каждая фурье-компон^ента прн
этом будет соответствовать в пространстве плоской волне. С форммаль-ной
стороны для такого ''продолжения" достаточно в экспоненте под ншнтег-
ралом добавить член ± щг. Знак плюс (минус) соответствует точкам, л лежа*
щим в полупространстве z > 0 (z < 0), и волнам, распространяющимися в
направлении положительных (отрицательных) z. Прн ? > к плоская воюлна
является неоднородной (см. п. 2.1). Выбор знака корня \А:2 - ?2 из
у<усло-вия Imp > 0 обеспечивает ограниченность поля прн \z\ -*¦ Таким
оЮбра-зом, имеем
Правильность проделанного здесь ''продолжения" обосновывается тем, 1, что
правая часть (12.5) удовлетворяет волновому уравнению (поскольку " ему
удовлетворяет подынтегральное выражение) н дает нужное значение н<поля
при z = 0.
Выражение (12.5) н представляет собой разложение сферической во/олны по
плоским. Экспонента под интегралом является плоской волной, направление
раслространения которой задается значениями компонент волнов>вого вектора
?5, ?2, /asgnz. Направление осей координат в (12.5) может выыбн-раться
произвольно. Поэтому можно разложить сферическую волну|у на плоские так,
чтобы входящие в это разложение неоднородные волны з*зату-
ехр (ikr)
г
2ir --
ImjuX).
(1212.4)
ехр(Ш?) i +00
"ехр lU^x + iiy + д1?0)
diid$2
(1212.5)
242
Рис. 12.1. Геометрия задачи об отражении и преломлении сферической волны:
S - источник, S} - мнимый источник, Р и Р, - точки наблюдения
хали не в направлении оси г, а в любом другом наперед заданном направле*
ннн.
Мы рассмотрели случай гармонической сферической волны. Аналогичное
разложение для сферической волны общего вида (1.18) дано в работе [478].
В определенных областях пространства поле сосредоточенного источника
можно представить в виде суперпозиции только однородных плоских волн
[218J .Прн этом под интегралом по н $2 вместо 1/д стоит обобщенная
функция.
Пусть теперь сферическая волна излучается в точке S на расстоянии Zq от
границы раздела двух однородных жндкнх полупространств. В дальнейшем мы
будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат помещено
на границе раздела под источником (рис. 12.1)- Разложение Падающей на
границу сферической волны на плоские при этом будет записываться в виде
(12.5), где вместо z следует взять z -го.Прнг>0 звуковое лоле
складывается из падающей и отраженной волн:
p(r, z, z0)=R~1sxp(ikR)+pr, R = [(2 -г0)2 +г211/2. О2'6)
Анализ поля отраженной волны ргн является: нашей задачей.
Каждая нз плоских волн под двойным интегралом (12.5) при распространении
от излучателя до границы н от границы к приемнику в точке (,х, у, z)
набирает фазу ?, х + %2у + +z0). Амплитуда волны вследствие
отражения от границы должна быть умножена на коэффициент отражения V (?)
(см. (2.27)). В результате для отраженной волны получаем i +" d%\d?2
Pr~ - _Я ----------- + + +z0))b (12-7)
Коэффициент отражения плоской волны V не зависит от ориентации гори-
зонтальной проекции волнового вектора. Это позволяет свести интеграл
(12.7) к однократному. Переходя в (12.7) к полярным координатам
(12.2) и используя прн интегрировании по ^тождество (см. [240, гл.
9])
/ exp[mcos("p - ф)]d\J> = 2л/0(п), (12-8)
о
находим
Pr = i / ^(0^о№г)е*р[<ц(г +*")]. С12'9)
о ц
16*
Правые части соотношений (12.5) н (12.7) часто называют интегралами
Вейля, а соотношения (12.9) - интегралом Зоммерфельда. Когда г Ф О,
последний целесообразно преобразовать, выразив функцию Бесселя J0 через
функции Ханкеля. Заметим, что К(-?) = V(?), д(-?) = Д Шн"Л>(и) = =
0.5[^q1 Чы) - ^^(e^w)] (см. [240, гл. 9]). Объединяя в (12.9) интегралы
от Hq1 j( и) и ^(-ы) в один, получаем
Р,= 7 f ~ к(Ояо,)Йг)ехР[<Р(г+го)]- (12.10)
2 -- д
Интегральное представление звукового поля в нижней среде (г < 0) строится
аналогично. Оно имеет вид
Р= 7 / ^''(MexpMiZo
2 -- /а
ЛI----5- (12.11)
Mi =V*i -1 , >0,
где Д1 - вертикальная компонента волнового вектора плоской волны в ннжней
среде; кх = со/сх - волновое число при z < 0; W - коэффициент
прозрачности (2.31) для плоской волны.
Пользуясь формулой (12.10), можно рассчитать волну, отраженную от
произвольного слоистого полупространства, подставляя соответствующий
коэффициент отражения V( ?). Подчеркнем, что рг зависит от суммы
возвышений источника и приемника над границей, а не от г и z0 в
отдельности. Если V = V0 = const, как это имеет место, например, при
отражении от абсолютно мягкой или абсолютно жесткой границы z = 0, из
соотношений (12.7) и (12.5) следует:
Pr = V"R г:'ехр (ikRt),
