Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
вещественных w. К интегралу вида (11.77) сводится интеграл по берегам
разреза. Из (11.65), (11.68) следует:
/ w0 ехр [ip(w + b)2]dw *=(-2/osin п{1)'1&з(р,-6, 0)*
о
= Г(1 +0)(2р)-<1+"/г ехр [ipb2/2 + ix(f3 + 1)/4| X
X \f2p b exp (-m/4)). (11.78)
Введем в (11.77) новую переменную интегрированиям:
s = [2 Ww) - v>(ws))//(ws)|112 - b, где * = \2<ф) - ^w,))//(w,)] Чг.
(11.79)
Функция s (w) является регулярной, причем s(0) = 0, s (w/) = -Ь, ds
(ws)/dw = 1. Теперь интеграл (11.77) принимает вид
J= ехр [ipe<w,)] / * s^s) ехр [ipa(s + *)21. " = /(w,)/2,
О
g(j) = F(w)(wfsf dw/ds. (11,80)
235
Выделим Bg(s) аналогично (11.70) существенную часть:
g(s) = g(0) + [?(0) - ?(-Ь)] s/b + (s + b) sg, (s).
(11.81)
Подставим (11.81) в (11.80). Используя (11.78) в качестве эталонного
интеграла, получим, подобно (11.72),
y = exp[ipip(ws)-u2/4 + i>((3+ 15/4] Г(1 + (3) (2ряГ(1+й/г X
Х{?(0)?>_, _"(u) + (1 + 0)u*' [?(0)-g(-d)]D_a_p(u)) + R,
и = \/2fiab exp(-w/4), (11.82)
R = exp[iw(ws)] (Ира)'1 J s *+ !gl (S)d exp|ipa(s + b)2] * J • 0(p~l).
° (11.83)
Последующие члены асимптотического разложения J можно найти, представляя
функцию ga(s) = s8\ + (0 + l)^i в виДе (11-81) и повторяя выкладки. Явные
выражения для #(0) и g(-b) легко получить из (11.80):
?(0) = F(0)[b/(ws)/<p'(0)]'1+1, ?(-*) = F(Wj) (--Wj/Ь/. (11.84)
По своей структуре асимптотика (11.82) повторяет (11.74). Поэтому мы ие
будем останавливаться иа анализе первой. Отметим только один частный
случай. Пусть /3 = 0. Тогда подынтегральная функция в (11.77) регулярна,
н критическими точками будут точка перевала и начало контура
интегрирования. Выражая функции параболического цилиндра через интеграл
вероятностей по формулам [240, гл. 7]
0_1(н)=(я/2)1/2ехр(й2/4)[1 -erf(u/V5)],
D_ 2 (и) = ехр (-и2 /4) - y/vj2 и ехр(ы2'/4) [ 1 - erf(u/\/2)^
(эти формулы легйо получить, сравнивая (11.45) и (11.66)), имеем,
согласно (11.82) - (11.84),
J= expfip^Wj)] {F(ws)e'"/4(2p/(ws)/j;r1/2[l-erf("/v5)-
-v/2Mexp(-u2/2)/u] +iF(0)exp(-u2/2)W(0)> [1 +0О>~')],
и = <Г"/4[2р(<р(0)- <p(ws))] Ч2. (11.86)
Пользуясь определением (11.47) и асимптотикой (11.49) функции erf,
нетрудно убедиться, что прн w-*0 выражение (11.86) для J сводится к
главному члену ряда (11.16) -асимптотики интеграла с седловой точкой на
конце контура интегрирования; при |"|^-<=°, b > 0 - к главному члену
(11.15) (единственная критическая точка -конец контура), а при | " | -+
оо, ^ < 0 в (11.86) содержится н главный член вклада стационарной точки
(11.9).
Дадим краткий обзор других случаев,¦ для которых построены равномерные
асимптотики. Когда под интегралом по бесконечному контуру имеется две
перевальные точки, эталонным служит интеграл
2^4(P,f)= f exP[*P(sf + s3/3)](& = 2 f cos p(st + s3/3)ds, (11.87)
_co 0
выражающийся через функцию Эйри и(/р2^3) (см. (3.104)). Равномерная
асимптотика интегралов этого типа будет подробно исследована в § 17 в
связи с теорией каустики. Интегралы с двумя седловыми точками н более
сложной, чем в (11.1), зависимостью от большого параметра,
236
возникающие при исследовании формы импульса, распространяющегося в
волноводе или в диспергирующей среде, рассмотрены в [382].
Когда интеграл (11.1) имеет три критические точки: Wj, w2, vv3, причем w2
= (wj + w3)/2, - то асимптотическое разложение удается получить в
терминах функций параболического цилиндра, если все критические точки -
точки перевала [261, 308, 490], и в терминах функций Эйри, если w, и и"3
- стационарные точки, а щ - точка ветвления второго порядка [35].
В следующем по сложности случае, когда стационарная точка расположена
вблизи конца контура интегрирования и полюса, равномерную асимптотику уже
не удается выразить через известные специальные функции. Вводится новая
функция - обобщенный интеграл Френеля:
С(х,у) = -У 7 ('* +y2)"'exp[i(r3 +/))*, (11.88)
2 Я X
свойства которого исследованы в работах [34,132], эффективный численный
алгоритм расчета предложен в [7]. Через эталонный интеграл
(11.88) выражается также асимптотика диумерного интеграла Фурье со
стационарной точкой вблизи угловой точки границы [12,34, 132].
Если вблизи конца контура интегрирования расположены две стационарные
точки, эталонным будет интеграл
v(ap1/3, rp2/3) = р-1^3 / exp[i'p(sr + s3/3)]c/s, (11.89)
а
называемый неполной функцией Эйри. Он также не выражается через
традиционные специальные функции. Простейшие свойства интеграла
(11.89) описаны в приложении к работе [12]; см.также [428,429].
Асимптотику интеграла (11.1) с двумя стационарными точками вблизи
полюса можно построить в терминах функции Эйри - Френеля
К(г, 6) = / (s - 6)_,exp[/(s3/3 + B)]ds, lmb<0. <11.90)
См. в этой связи [12, 308].
Во многих задачах встречаются интегралы в бесконечных пределах с
регулярной подынтегральной функцией, обладающей многими точками перевала.
Когда число близких стационарных точек больше двух, для построения
равномерной асимптотики интеграла приходится вводить новые специальные
