Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
функции. Так, в случае трех пеоевальных точек используется интеграл Пирси
[466]:
I(X, Т) = Тexp[i(ft + Xs2 +*4)]А. (11.91)
Асимптотика интеграла (11.1) с такой конфигурацией критических точек
получена в работах [52, § 45]; [156, 337, 472]. Она будет рассмотрена в §
17.
Классификацию всех возможных случаев расположения стационарных точек и
минимальный набор эталонных интегралов, позволяющий построить равномерные
асимптотики интегралов определенного класса, дает математическая теория
особенностей дифференцируемых отображе-
237
ний, которую часто называют также теорией катастроф [15, 16, 37, 82].
Построению асимптотических разложений интегралов различной кратности со
многими стационарными точками в терминах эталонных интегралов, приложению
результатов к различным физическим задачам и, в меньшей степени,
исследованию самих эталонных интегралов посвящено весьма большое число
работ. С состоянием вопроса можно ознакомиться по обзорам [14, 152, 158,
159,304].
Суммируя, отметим, что мы изложили систематический подход к построению
равномерной асимптотики интеграла вида (11-1). Его основными этапами
являются: а)выделение критических точек; б)выбор эталонного интеграла,
обладающего теми же и сходно расположенными критическими точками;
в)регулярная замеиа переменных w = w(s), приводящая показатель экспоненты
в (11.1) к виду, который имеет этот показатель в эталонном интеграле;
г)аппроксимация регулярной функции в интеграле по новой переменной s,
приводящая к нулевой погрешности во всех критических точках. Этот подход
в общем случае приводит.к асимптотическому разложению интеграла (11.1)
следующей структуры:
J = a0(fitb)% + Xaj(p,b)b%!bbf, (11-92)
!
где - эталонный интеграл, являющийся функцией р н некоторого
набора параметров b = {bj}, / = 1, 2,... ,N. Значения параметров b
выражаются через значения /, F и их производных в критических точках.
Коэффициенты и а}- в (11.92) представляют собой ряды по целым степеням
1/р. В некоторых случаях изложенный подход удается обобщить на интегралы
вида (11.1), где функции / и F сами зависят от р (см., например [382]).
Две критические точки wcl и wc2 дают в асимптотику интеграла вклад,
отличающийся от суммы вкладов изолированных критических точек, если Р f
f(wci) - f(wci) I 1- При больших р отсюда следует: | wcl - wc2 \<l. Прн
произвольном расположении М точек wCj реализуется одна из следующих
ситуаций. Либо все М точек близки между собой: | wcj - wci | 1
(/,7 s 1....М), либо близки М - 1 точка, а одна точка изолирована, либо
есть группы (илн группа), в которых близки т <Л/ - 2 критических точек н,
возможно, имеются изолированные точки, либо все точки изолированы.
Поэтому полное асимптотическое разложение можно сконструировать из
локальных асимптотик, справедливых для М, М - 1,...,2 близких критических
точек, н формул метода перевала. Гпавные члены локальной асимптотики
можно получить, избегая этапы (в) н (г) вывода равномерной асимптотики.
Вместо них достаточно воспользоваться разложением /(w) и регулярной
функции в предэкспоненциальном множителе в (11.1) по формуле Тейлора в
окрестности точки w = wci с сохранением достаточного числа членов.
(Пример см. в п. 11.2). Значения параметров b выбираются так, чтобы были
равны коэффициенты при одинаковых степенях w - wcl в эталонном интеграле
и (11.1).
• По причинам, указанным в п. 9.2, локальные асимптотики удобнее
равномерных при численных расчетах. С ростом необходимой точности
асимптотики по параметру р в тейлоровских разложениях нужно учитывать все
большее число членов, и структура локальной асимптотики быстро
238
усложняется. В аналитических исследованиях предпочтительно использовать
равномерную асимптотику вместо набора локальных, тем более что последний
прн необходимости легко получить из первой.
Равномерную асимптотику (11.92) можно найти также методом
асимптотического сшивания (метод Урселла). В этом подходе зависимость
параметров Ь и коэффициентов д0, ау от / и F определяется из требования
перехода асимптотики (11.92) (во всех порядках по р"1) в формулы метода
перевала при условии p\f(wci) - f(wcf) I > 1, когда критические точки
можно считать изолированными. Как показано в работе [490], этот подход
приводит к тем же результатам, что и изложенный выше метод.
Оригинальный способ построения асимптотических разложений интегралов был
предложен Франклином и Фридманом [363]. Его приложения к интегралам
разных типов см. в работах [363, 516-518]. Этот способ, по-вн-димому, не
является столь универсальным и наглядным, как метод эталонных интегралов,
но в ряде случаев сравнительно просто приводит к интересным результатам.
Проиллюстрируем идею ' Франклина и Фридмана на одном примере. Пусть
/ g(s)exp(iWl -s2z)Ho>}(kn) ___________ , Im\/l - s2 > 0,
2 -" _s2
(11.93)
где z - вещественный неотрицательный параметр; к, т >0. Точка ветвления
s=0 функции Ханкеля обходится в верхней полуплоскости 5. Функцию g(s)
будем считать регулярной и четной: #(s) =g(- s). (Это предположение не
