Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бреховских Л.М. -> "Акустика слоистых сред" -> 103

Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.

Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред — М.: Наука, 1989. — 416 c.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка): akustikasloistihsred1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 195 >> Следующая

В одномерном интеграле
/, = J tfu;4>(v)exp (ipq,uf/2) (11.38)
функция Ф(у) согласно (11.37) нмеет разложение
*(v) = *l",=0 + d,u, + d2ul + p(d3uf +d4uf) + 0(p of +uf), (11.39)
где d,(/ = 1, 2, 3, 4) - коэффициенты порядка единицы. Интегрируя (11.39)
почленно, находим Г, = I 2ir/p<?,|1/2 exp [(w/4) sgn ?,] Ф|"1 = 0[1+0(р-
1)]. (11.40)
Нечетные степени Vi ие дают вклада в интеграл /г ввиду нечетности
подынтегральной функции.
Последовательно применяя формулу (11.40) и учитывая (11.36), получаем
асимптотическую оценку кратного интеграла (11.37):
л /2я \п/2 I Л Г1(г
I = | det В\ (-----) Пр, F(Ws)e,0[l +0(р-!)] =
\ р / [ г = 1 I
= ^ / | del А Г112 Я"*) eto Jl + , (11,41а)
Я П
ossp^(w1) + - 2 sgn<?,. (11.416)
4 /= i
Коэффициент перед я/4 в Л(11.41б) называется сигнатурой матрицы А. Ои ие
зависит от матрицы В, приводящей А к диагональному виду [146, § 13.5].
Аналогично получается оценка кратного интеграла Лапласа, В" котором
функция / имеет единственный максимум ws:
Г= {dnwF(w)e''^w'> =
= ^- У'2 | det4 Г1'2 Лм>1)е')*'<н,*>|\ + (11.42)
В точке максимума <?/ < 0 при всех /. Последующие члены асимптотических
разложений / и/ вычислены в [404]. Если ^ (w) имеет несколько локальных
максимумов, то каждый из них вносит в асимптотику вклад (11.42).
Определяющим является вклад точки с наибольшим значением^. Если ^(н>) в
(11.33) имеет несколько изолированных стационарных точек и все оии
иевырождеииы, то асимптотика интеграла дается суммой выражений вида
(11.41).
В кратных интегралах по ограниченной области критическими точками, помимо
стационарных точек показателя экспоненты и особых точек пред-
экспоиеициальиого множителя, оказываются угловые точки границы области и
те точки иа гладких участках границы, где grad \р ортогонален ей. Вклады
в асимптотику интеграла этих критических точек определены в [257, гп. 5].
Об интегралах с близкими стационарными точками см. [256, 438, 536], [257,
гп. 6]. Случай стационарной точки вблизи границы рассмотрен в [132],
[257, гл. 6]. Для двумерных интегралов со стационар-228
иой точкой вблизи угловой точки границы равномерные асимптотические
разложения получены в [12, 34,132],
11.3. Равномерные асимптотики интегралов. Возникающие в физических
задачах интегралы вида (11.1) помимо большого параметра р, как правило,
содержат несколько дополнительных параметров b = {?/}, / =
= 1, 2 N. При некоторых значениях b = Ь0 может происходить слияние
критических точек под интегралом, что нарушает применимость метода
перевала при b ** Ь0. В настоящем разделе мы получим равномерные, т.е.
пригодные при р > 1 и любых значениях Ь, асимптотики. Для этого сведем
интеграл (11.1) при помощи замены переменных w(s), определяемой
уравнением
Л") = '(*). (11.43)
к более простому (эталонному) интегралу
f= S ехр [pt(s)] T(s)ds, (11.44)
г
правильно передающему поведение функций f и F вблизи критических точек и
выражающемуся через известные функции. Если функция F(w) в
(11.1) имеет особенность (полюс или точку ветвления), то такую же
особенность должна иметь функция Т(г). Замена переменных должна
переводить особые точки Т(s) в соответствующие особые точки F(w). Чтобы
локальные свойства подынтегральных функций в (11.1) и (11.44) совпадали,
должна быть регулярной функцией, производная которой
dwjds = t (s)lf'(w) hi обращается в нуль и бесконечность (по крайней
мере, вблизи критических точек). Поэтому t(s) должна иметь столько же
стационарных точек н того же порядка, что nf(w). Отметим аналогию со
сформулированными в п. 9.1 требованиями к выбору функции сравнения в
методе эталонных уравнений.
Начнем со случая, когда критическими точками в (11.1) являются простая
перевальная точка ws и полюс wp, а интегрирование ведется по перевальному
коитуру. Простейшим эталонным интегралом для этой задачи будет
+" , ds
Ъ (n,p,Sp)= / ехр {-ps ) ----------- . (11.45)
-" (S Sp)
Рассмотрим сначала случай простого полюса (л * 1). Согласно [240, с.
120], при п = 1 эталонный интеграл равен
h (l.p.Sp) = nr ехр (~pSp) [erf (i\fp sp) +1],
^ Л (11.46a)
Imsp >0,
где
и
edu = (2y/H)j exp (-f2) dr (11.47)
о
- хорошо изученный и табулированный при произвольных комплексных
значениях аргумента интеграл вероятностей (см. [240, гл. 7], [178,276]).
Пользуясь равенством 3^i (п> A sp) s<^Kn> А &Р) нз (11.46а) получаем
&(1,р, *р)" йгехр(-рЗр) [ed(iyfpsp)~~ 1], lmsp<0. (11.466)
229
При переходе sp через вещественную ось значение 3^1 > как видно из
(11.46), изменяется скачком:
ft(l,P,sp+*0)-^,(l,pi, sp - iO) = 2т exp (-psp), lmSp -0.
Величина скачка равна умноженному на 2ят вычету в полюсе s = sp. В ряде
дифракционных задач особый интерес представляет случай sp = = | sp | exp
(±i я/4), когда | exp [pf (ws) ] | = | exp [pf (vvp) j I (см., например,
[11]). Для таких значений sp интеграл, вероятности выражается через
интегралы Френеля Си S от вешествениогоаргумента [240, гл. 7]:
erf [yfH (1 - 0 u/2] = (1 - О [С("> + iS(u)]. (11.48)
При больших значениях |и| имеет место асимптотика [240, с. 122]
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed