Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
корневую особенность, их производные по q обращаются в бесконечность н,
формально, пользоваться методом перевала нельзя. Однако итоговые
выражения (12.21), (12.22) ие имеют никаких особенностей прн в0 тг/2 (мы
считаем сейчас, что п не близко к единице). Так, прн sin в0 = 1 имеем N =
2т2/(I - л2). Это указывает на применимость полученных результатов прн
скользящем падеинн. Действительно, (1 - q2)1/2 прн <7^1, как видно из
(12.17), являете? регулярной функцией s н после замены переменной
интегрирования q иа s 'в (12.14) подынтегральная функция ие имеет
особенностей вблизи s = 0, так что использование метода перевала в этом
случае вполне законно.
Обратимся теперь к случаю малых значений угла зеркального отражения в о.
На перевальном контуре экспонента ехр [ | к IR j /(t?)] спадает в е раз
по сравнению со своим значением в точке перевала при \q - %
я" 12lkRlf"(qs)\V2. Поэтому при интегрировании существенна окрестность q5
с радиусом порядка |?Л, \~Ь2. Если qs > j г Г1'2, т.е. г2 > > Rif | к то
в существенной области аргумент функции Хаикеля в (12.10) |?r| > 1, и
переход к интегралу (12.14) законен. В противном случае, т.е. прн г2 ^ R
j /1 к |, перевальный коитур проходит вблизи точки ветвления д ~ 0, и
проведенные выше выкладки неприменимы. Интегральное представление поля
(12.10) вообще теряет смысл прн г - 0, когда излучатель и приемник лежат
на одной вертикали. Будем поэтому исходить из формулы (12.9) н
воспользуемся одинм из результатов § 11. Заметим, что в силу отмеченной
перед формулой (12.10) связи функций Хаикеля и Бесселя определение
величины Ф (11.93) можно переписать в виде
Сравнивая (12.24) и (12.9), мы видам, что/?,, будет равиоФ[К("7)],еслиг в
(12.24) заменить иа z + z0. Коэффициент отражения V является четной
функцией q и ие имеет особенностей вблизи точки д = 0. Поэтому для Ф[К]
можно воспользоваться асимптотикой (11.100), Таким образом, при любых
значениях в0 получаем
qdq
(12.24)
о
Vi - я7
1*1*1
(12.25)
В интересующей иас области г \Ri/k\v2 соотношение (12.25) дает отра-
249
женное звуковое поле с той же точностью, что и (12.21) в своей области
применимости. Поскольку sin2в0 ^ V\kRxl то, ие ухудшая точность
результата, величину V(qo) в (12.25) можно заменить на К(0) + + 0,5t?o(92
V/bq2)q=Q. Если аналогично преобразовать формулу (12.21), то с точностью
до слагаемых ) результаты совпадут. Таким
образом, соотношениями (12.21) и (12.22) можно пользоваться и при малых
в0. К тому же выводу можно придти, применив к интегральному представлению
(12.7) двумерный метод стационарной фазы (см. п. 11.2).
Значительно более сложной задачей оказывается анализ отраженного поля
вблизи критического угла полного отражения. При qs п величина N (12.22)
стремится к бесконечности. Причина неприменимости формул (12.21), (12.22)
заключается в следующем. При их выводе мы пользовались методом перевала,
считая коэффициент отражения медленно меняющейся функцией. Между тем,
вблизи критического угла полного отражения это не так. Функция V имеет
точку ветвления при q = n, и производная (dV/dq)q^" обращается в
бесконечность. Выделим в коэффициенте отражения регулярную часть:
У(Q) = Vi(4)+ V2(q)\/q-n , (12.26)
у = т1 +п2 ~ <т2 + [^q2 у - ~2'т'/(1-Ч1)(Ч + п)
1 т1 - п2 - (т2 - 1 )q2 ' S m2 - л2 - (т2 - i)q2
Функции Fj 2(Я) ие имеют особенностей в окрестности точки q = и.
Обозначим через Р\(Рг) часть отраженного поля, получающуюся при замене V
в (12.16) на VX(V2 \/q - п). Тогда
Pr = Р1 + Pi- Асимптотикарх дается обычными формулами (12.21), где надо
положить V - Vx. Для оценки р2 воспользуемся полученной в § II
асимптотикой (11.74) интеграла со стационарной точкой вблизи точки
ветвления.
Будем сначала рассматривать случай, когда при деформации контуров
интегрирования разрез, связанный с точками ветвления q - ±п, пересекается
четное число раз, и интеграл по исходному контуру у равен интегралу по
перевальному пути 71. Тогда согласно (12.14) -(12.16) можно записать
/ ^ \ i/2 у iit\ +ов
Рг \2яГ/ еХР ?W(s-s")l'2exP("|tiJi|s2)*'
Г q(q~n) ]v2dq Г /1\1 (12.27)
- 2)(r_Ss)-j +
Здесь зависимость q(s) определяется уравнением перевального контура
(12.17), ??(5fr) = п. Интеграл (12.27) с точностью до обозначений
совпадает с рассмотренным в § II интегралом (11.63) при 0 = 1/2. Поэтому
для построения асимптотики р2 нам остается только вычислить входящие в
формулу (11.74) величины.
Из (12.17) имеем
j2 = 2;<zsin2((0o-6)/2), q'(sb)f(n)=-2sb, q\0)= [-У f" (qs))v2.
Знак корня в последнем равенстве следует выбрать так, чтобы значение
250
(0) было равно углу -я/4 - а/2 между касательной к 7, в точке перевала и
положительным направлением вещественной оси q. Знак Sj> определяется из
условия g'(O) при -*¦ 0. В результате получаем:
sb ~ \/2а e"3Tr(/4sin{(0o - б)/2),
exp(-7W/8)sin 6 (8/л)3'4
^ ^ т [cos6cos3((0о - б)/2)] * (12.28)
?(0) ¦ т [(l/2)sin0ocos6sm(0o + 5)]I/Jcos0ocos2((0o - 5)/2)
?("ь) sin6(m2co^0o + sin20<> - sin26)
