Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
(12.12)
Я, =[(7+z")I+r,J1'1.
Мы видим, что в этом случае отраженное поле представляет собой
сферическую волну, исходящую нз расположенного в нижней среде мнимого
источника Si (см. рис. 12.1). Точки S и Sj симметричны относительно
границы раздела.
12.2. Отраженная волна. Проанализируем звуковое поле в верхней среде на
больших по сравнению с длиной волны расстояниях Ri до мнимого источника S
j (см. рис. 12.1). Будем исходить из интегрального представления (12.10).
Наше изложение будет следовать в основном работам [38, 41, 43, 88].
Воспользуемся асимптотическим представлением функции Ханкеля (см. [240,
гл. 9])
я",)(и)=(?ГехрК"- Ш1- i +оН'
~п<лщи<2п (12.13)
и перейдем к интегрированию по безразмерной переменной q = %/k. Она
связана с углом падения волны равенством q = sin0. Диссипацию энергии в
среде будем учитывать, считая волновое число комплексным. Тогда
244
формула (12.10) прнннмет вид
(12.16)
В непоглошающей среде величина к - вещественная, а = 1. Так как
вещественная н мнимая части к2 в поглощающей среде положительны, то 0 < <
а < jt/4. Волновое число в нижней среде кх ~ пк (r) ап\к\, поэтому при всех
возможных значениях показателя преломления п в поглощающей среде 0 <
arg(flfl) < тг/4.
Поскольку по предположению kRx > 1, интеграл (12.14) целесообразно
анализировать прн помощи метода перевала (§ 11). Точка перевала q5
удовлетворяет уравнению (11.2), которое в нашем случае имеет единственное
решение qs = sin0o. В этой точке f(qs) ~ ia,f"(qs) = -ia!cos20o-
Перевальный контур 7 , определяется уравнением (11.4):
Нетрудно показать, что контур ух уходит на бесконечность, асимптотически
приближаясь к лучам q = \q | exp[i(0o - <*)] н q = \q | exp{i(rr - в0 -
а)]. Он пересекает вещественную ось q в диух точках. Одна из них - точка
перевала qs, а вторая лежит правее точки l/sin0Q и стремится к ией при а-
+0 (рис. 12.2).
Прежде чем приступить к оценке интеграла по ух, рассмотрим детально
возможность замены исходного пути интегрирования 7 на 71. Для этого
необходимо проанализировать, <акие особые точки подынтегральной функции
могут встретиться на комплексной плоскости q при деформации 7 в 7i.
Прежде всего, функция F(q) (12.16) имеет точку ветвления q - О, связанную
с единственной особой точкой функции Ханкеля в (12.10) - ее точкой
ветвления в нуле аргумента. Для выделения регулярной ветвн следует
провести разрез по лучу arg? = 7T. В (12.10) контур интегрирования
проходит по верхнему берегу разреза. Это означает, что контур 7, как и
ух, проходит над точкой ветвления q = 0, и она не затрагивается прн
деформации 7 в 7j. Таким образом, разрез, связанный с точкой ветвления q
= 0, несуществен и на рис. 12.2 он не показан. Далее, функции F н f
содержат
радикалы \/Г - q2, \fn2 - q2 , вследствие чего q = ±1, ±п будут точками
ветвления. Коэффициент отражения при каждом q может принимать два
значения, в зависимости от того, какую комбинацию знаков корней мы
выберем. Проведем разрезы по линиям
<jrsin0o + (1 - <jr3)I/2cos0o = 1 + is2/а, < + °°.
(12.17)
а2(п2 - q2) = ul н а2(\ ~q2)~u2y 0 <иь2<""
(12.18)
245
Рис.12.2. Преобразование исходного пути интегрирования у к перевальному
контуру у,. Линиями с поперечными черточками показаны разрезы
Удобно говорить, как это всегда и делают, о четырех листах плоскости q
(образующих четырехлистную рнманову поверхность), на каждом нз которых
функции f н F будут уже однозначными. На одном листе (назовем его
''верхним") Imayjn2 - q2 >0, Ima\/l - q2 > 0; на другом Imayjn2 - q2 <0.
Imas/l - q2 < 0; на третьем и четвертом листах знаки выписанных мнимых
частей противоположны. Листы рнмановой поверхности мы будем обозначать
++, + -, -+, - по знакам величин Imayfn2 - q2 н 1тд\Л - q . Листы
соединяются по разрезам (12.18). На разрезе, исходящем нз точек q - ± 1
(илн д = ±п), величина Ima\/l - q2 (или Imау/п2 -q7)остается непрерывной,
а Rea>/l - Я2 (или Rеа>/п*~- q2 ) меняется скачком.
В п. 2.2 мы внделн, что выбор знака мнимой части рассматриваемых
радикалов определяет знак мнимой части вертикальной компоненты волновых
векторов преломленной \к \а(п2 - q2)V2 и отраженной \к |д(1 - q2)V2 волн.
Из условия ограниченности звукового поля прн \z \ -*¦ 00 следует, что
исходный путь интегрирования у лежит на ''верхнем" листе ++. Из рис. 12.2
видно, что перевальный контур может пересекать разрезы. В точке
пересечения контур должен покинуть верхний лист, чтобы избежать разрывов
подынтегрального выражения. Если число пересечений разреза четно, то
контур возвращается на исходный лист, и деформация у в ух не вызывает
затруднений. Появляются только связующие дуги \q | = qc - coast, лежащие
в первом, втором н четвертом квадрантах (см. рис. 12.2), которые должны
проходить в бесконечно далекой части комплексной плос-
246
кости. Хотя при qc -*¦ +°(r) длина дуг растет, онн не дают вклада в
интеграл, поскольку подынтегральное выражение на них экспоненциально
мало.
Задача усложняется, когда число пересечений разреза нечетно. В этом
