Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
ограничивает общности. В силу равенства Но*\и exp(i'7r)) = -Hq1\u) [240,
гл. 9], интеграл от нечетной части функции g обратился бы в нуль.) При g
= 1 интеграл (11.93) является табличным;
Ф[1] =fi-1exp(iitfi), fi = (r2 + z2),/2. (11.94)
Найдем главные члены асимптотического разложения (11.93) при больших
значениях R. Решение этой задачи методом перевала дано в § 12. Здесь мы
пойдем другим путем. Заметим, что при g = (1 - s2)" интеграл (11.93)
можно вычислить точно:
Ф[(1 -s3)"] =(-1У,*-,"Э,""'[1]/Э22я. (11.95)
В частности,
Ф[1 - s2 ] = Я "1 exp(ifcfi) [cos2 в ~(kR)'2(ikR- 1)(1 - 3cos20)], cos Q
= zjR, (11.96)
Пользуясь четностью#^), представим эту функцию в виде ?(s) = ?(a) +
(2ary(a)(s2 -a2) + (s2 -a2fg,(s). (11.97)
По существу, соотношение (11.97) - это разложение g(s) по формуле
Тейлора. Выберем о так, чтобы основной вклад в (11.93) давап интеграл от
g(ct). В отлнчие от метода эталонных интегралов, величина а не полагается
заранее совпадающей с какой-либо критической точкой, а отыскивается из
условия обращения в нуль интеграла от первого поправочного
239
члена в (11.9?): ^[s2 - а*]^0. 'Следовательно,
а2 = 1 ~Ф[1 -s2]/*[l] =sin2e +(kRy2(ikR~l)(l -3cos20> (11.98)
Второй поправочный член в (11.97) дает в интеграл вклад порядка ^[(s2 -
а1)2]. Пользуясь формулами (11.95) и (11.98), получаем
*[(s2 ~а2)2]*к-2Ъ[1] {Ъ2с?!Ъг2 + 2Ъа2(дг +
+ Э(1п Ф[1])/Эг) ~Ъ[1]0(к~2Я-2 +zr2/kR4). (11.99)
Таким образом, подстановка (11.97) в (11.93) дает
г=*(а)й'1*хр(й:й) + 0(&-,й'э + zr2fkR5). (11.100)
Заметим, что в асимптотику Ф не вошли производные функции g. Если при R -
*¦ °° отношение z/r =* 1, то выражение (11.100) дает Ф с точностью до
множителя 1 + 0(1/kR), как и главный член асимптотики метода перевала, и
поэтому не представляет интереса. Напротив, если z -> 00 при
фиксированном г или г -*¦<*> при фиксированном z, то (11.100) дает ту же
точность, что и два члена асимптотики метода перевала (11.9),
(11.12), но имеет значительно более удобный для вычислений вид. Из вывода
ясно, что результат (11.100) является точным для функций g~A +Bs2. Мы
воспользуемся им в гл. 3.
Глава 3
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ВОЛН И ВОЛНОВЫХ ПУЧКОВ
В теории распространения акустических вопн необходимо учитывать, как
правило, конечную удаленность источника звука и от приемника, и от границ
раздела сред. Классической и простейшей задачей такого рода является
задача о поле точечного излучателя, расположенного на конечном удалении
от плоской границы раздела двух однородных сред. Другими словами, это
задача об отражении и преломлении сферической волны. Ей посвящен § 12.
Впервые эгу задачу для электромагнитных волн сравнительно полно
рассмотрел Зочмерфельд (см. [126]), в дальнейшем появились
фундаментальные работы Вейля, Отта, Фока, Леонювича, Баньоса [174, 175,
543, 465, 297]. В § 12 мы будем следовать, главным образом, своим работам
[41-43, 88], основанным на использовании и дальнейшем развитии идеи Вейля
о разложении сферической волны на плоские. Тем же методом удается
рассмотреть и более сложную задачу - об отражении ограниченного волнового
пучка {§ 13). § 14 посвящен исследованию боковых волн, возникающих при
отражении сферических волн н ограниченных звуковых пучков от границы
раздела.
Основное внимание мы сосредоточим на анализе отражения акустических волн
от границы жидких сред, в том числе движущихся.. Родственные задачи об
отражении и преломлении сферических волн на границе жидкости и твердого
тела или двух твердых полупространств рассмотрены в работах [4, гл. 3],
[48, § 24], (161, 215,235, 268. 320, 389, 390, 445] и др. Более подробную
библиографию читатель найдет в монографиях (4, 215, 326, 352].
§ 12. Отражение и преломление сферических волн
Трудность задачи об отражении и преломлении сферической волны иа плоской
границе раздела двух сред обусловливается различием между симметрией
волны и границы (волна сферическая, граница плоская). Естественно поэтому
решать задачу, разложив сферическую волну на плоские, теория отражения и
преломления которых была изложена в гл. 1 н 2.
12.1 Интегральное представление звукового поля. Звуковое давление в
сферической волне с произвольной зависимостью от времени дается формулой
(1.18). Монохроматическую волну получим, если примем в (1.18), что F(r) =
const ехр (/сот). Отбрасывая произвольный амплитудный множитель и фактор
ехр (-/cot),,монохроматическую сферическую.волну запишем в виде р = Я-1
ехр(ik А), где к ~ со/с, R = (х2 + у2 + z2)1/2 (в §1 последняя величина
обозначалась через г ). Временно предполагаем, что излучатель находится в
начале координат.
В плоскости z - 0 поле сферической волны будет иметь вид г -1 ехр (ik т),
где г = (х2 + уг )1^2.Разложим это поле в двойной интеграл Фурье по
переменным х и у:
ехрМт) +ао
-- - = JJ<4Gbfc)exp[i(M + fejO]rfMb. 02.1)
Г -ОО
16. Л.М. Бреховских
241
где
+"* dxdy
4(*i,fc)a Я --3 exp[Цкг-Six-%гу)]. - 4 irr
Перейдем к полярным координатам и обозначим
