Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
случае начало и конец контура лежат на разных листах. Чтобы соединить
леревальный контур интегрирования с исходным, нигде не лересекая разрезы
при конечных значениях q, путь yj приходится дополнить охватывающим
разрез контуром у2 и тремя бесконечно удаленными дугами (рис. 12.3).
Последние опять не дадут вклада в рг. Интеграл же по берегам разреза
приводит к своеобразной боковой волне, которая своим существованием
обязана точкам ветвления коэффициента отражения как функции q (или ?).
Подробный анализ условий возникновения и свойств боковой волны мы отложим
до § 14.
Входящая лод интеграл (12.14) функция F имеет в качестве особых точек
также полосы q = qp. Согласно (12.16), qp - это полюсы коэффн-циента
отражения, определяемые уравнением
mVl - ql + Vn2 - Яр = 0. (12.19)
Поскольку т > 0 (как отношение плотностей двух сред), то заранее ясно,
что лолюса лежат на листах+ -и-+. Из (12.19) находим
qp =±[(т2 -п2)Цт2 - I)]"2. (12.20)
На листах ++ и -, где мнимые части величин а( 1 - q2)v2 н а(п2 - q2p)v2
имеют одинаковые знаки, в точках qp коэффициент отражения обращается в
нуль (см. формулы (12.20) и (2.33)). Рассмотрим изображенный на рнс. 12.2
случай, когда контур yj дважды пересекает первый нз разрезов (12.18) н не
пересекается со вторым разрезом. При деформации контура интегрирования
лист +- не используется, а на листе -+ затрагивается только
заштрихованная на рисунке область. Дололним разрезы (12.18) кривы-ми а2
(п - q2) = -Mj, а2 (1 - q2) = -и2 (на рис. 12.2 они доказаны штри-
Рис. 12,3. Преобразование контуров интегрирования в случае иечетного
числа пересечений перевального пути -у, с размером. Штриховыми линиями со
стрелками показаны участки контура интегрирования, лежащие иа листе - +
247
ховыми линиями). Знак величины Iта2(п2 - q2) изменяется только при -
пересечении образовавшейся линии Iта2(п2 - q ) = 0. Аналогично, знак
1шд2(1 - q2) изменяется только при пересечении построенной линии 1гшг2(1
- q2) = 0. В точке q = 0 имеем Im с2 (л2 - <?2)> 0,1тд2(1 - q7)> 0.
Поэтому в заштрихованной области In\а7(п2 - q2 )Imc2(l - <j2)<0. С другой
стороны, согласно (12.19), получаем 1тд2(и2 - qp)lma2(\ - q%) = = w2[lm(l
- q2p)]2 > 0. Мы видим, что полюс не лежит в заштрихованной области к,
следовательно, не затрагивается при деформации контуров, интегрирования.
Рассуждая аналогично, можно проверить, что полюсы не затрагиваются и в
других случаях.
Перейдем к оценке интеграла по перевальному пути которая дается формулами
(11.9), (11.12). Из (12.14)-(12.16), пренебрегая величинами порядка i kRi
Г2 по сравнению с единицей, получаем exp(i kRA Г iN 1
[к^м--J.
fl-q2d2V 1 - 2q2 Э К 1 1 /Э2 V bV
N= I ----------- +--------------=-(-Г+ ct8e
L 2 Э q2 2 а Э q = 2\эе2 ъв
где 0o - угол зеркального отражения. Выражение (12.21) справедливо при
произвольной зависимости коэффициента отражения от переменной q (или угла
падения 0). Подставляя в (12.21) явное выражение для коэффициента
отражения от границы однородных жидкостей, находим
^ m(t - пг)[2т(п2 - 1) + 3mcos20o - жсо540о + >/й2 - sin20ocos0o(2n3 +
sin20o)]
(ff!cos0Q +\^Г^)3("2 - sin20o)3/2
(12.22)
В определенных областях пространства дополнительный вклад в отраженное
поле дает боковая волна (см. § 14)
- pi = 2/sLn5exp[/fc/?1cos(0o - 5)] {tnkRj [sin 0ocos5sin3(0o - 6)] .
(12.23)
В случае | 1тл| < 1, 1пш < 1 она наблюдается в области 0О > Re6 (где 6 =
arcsine - критический угол полного отражения), если Rew < 1, и в области
0О > arcsin(l/ReH), если Ren > 1.
формулы (12.21) - (12.23) позволяют, как правило, вычислить два первых
члена асимптотического разложения отраженного цоля по обратным степеням
большого параметра | к | R j. Использованный нами метод перевала
справедлив, если критические точки подынтегрального выражения
изолированы, т.е. их окрестности, существенные при интегрировании, не
пересекаются.
Случаи сближения критических точек требуют отдельного рассмотрения.
Многие из них представляют значительный физический интерес. Так,
перевальная точка qs = sm0o прн скользящем падении, когда я/2 - 0О 1, или
z + zQ ^ г, близка к точке ветвления "7=1: при падении, близком к
нормальному. когда 0О ^ 1, нли z + z0 ^ г, qs сближается с точкой
ветвления "7 = 0. Если Llnml < 1, Re" < 1, то перевальная точка близка к
точке ветвления "7 = л, когда 0О 6. Эти три особых случая будут
рассмотрены 248
(12.21)
^ е = е"
инже, в п. 12*2. При п -*¦ 0, что означает стремление к бесконечности
скорости звука в иижней среде, происходит слияние трех точек ветвления.
Мы не станем обсуждать эту ситуацию, поскольку ей трудно сопоставить
содержательную физическую задачу. Далее, при п -*¦ 1 происходит слияние
точек ветвления и полюсов. Особенности отражения сферической волиы от
такой границы будут проанализированы в п. 12.5. Наконец, полюс может
приближаться к другим критическим точкам, когда т > 1 или т 1 (см. п.
12.4).
Пусть значение qs = sm0o близко к единице. Функции / и F имеют прн q = 1
