Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
(11.64) далеки, т.е. | pb2 \ > 1, нз асимптотики (9.38) функций
параболического цилиндра получаем
(я/p)1'2 + /?3((3 - l)/4pi2 +0(р-2гг4)],
I arg и I < я/2, (11.69a)
(я/р)1'2 e'"/4( bf[\ + "3(0 l)/(4pi2) + 0(p-2b-4)] +
+ 2яоГ-'(-(3) (2рЬ)->-" exp (/pi2 - /Я0/2) [1 +
+ W + 1 )/(4pi2) + 0(p"2 V*)|, I arg и I > я/2.
(11.696)
Функция Ф{о) s exp (/u2/2)2>0 5 (т/2 e ,Ir/4u) прн и = -o|p| '^2 Re b
передает зависимость от b (отношение $-2 ('V не зависит от i) в важном
частном случае Re р > Im р, | Re b | > I Im b | , 0 = 0,5. Прн -Re р> 1т
р ту же роль играет (о). Зависимость модуля Л н фазы а функции Ф от и
показана на рис. 11.4. Мы вндим, что асимптотика (11.69)
удовлетворительно приближает модуль, когда | v [ > 1, а лрн | и| > 1,5 -
фазу Ф.
Центральным моментом в построении равномерной по параметру ws - wb
асимптотики интеграла (11.63) является выбор такого приближения функции g
(w), которое годилось бы в окрестностях обеих критических точек. Положим
S(w) = Siwb) + lK*',)-?(wfc)! (w - wb)/(ws - wb) + r(w). (11.70)
233
Остаток r(w) обращается в нуль в обеих критических точках. Поэтому х
r(w) = (w-w,)(w-w6)f, (w), (11.71)
где gx - регулярная функция. Следует ожидать, что интеграл от г (w) в
(11.63) будет мал. Действительно, используя (11.64) и интегрируя по
частям, получаем
J=g(wb)f2(pa,b,l3) + ^Ь*^1 3)2(pe, 6, 0 + 1) + ws- wb
i +"
+ ~2pa~ ^ dwSi(w)(w-wbyexp[ipa(w-ws)2]. (11.72)
Здесь b = wb- ws-
g2(w) = (0+l)g,(w) + (w-wb)"',(w) (11.73)
- регулярная функция. При помощи (11.67) выразим асимптотику через
функции параболического цилиндра:
J= \[Ъп (2ptf)_fl+,3J/2 ехр [м2/4 + /тг(1 - 0)/4 + йг0( 1 - о)/2] X
[1 +0(р-1)],
и = V 2ра (wb - ws) о ехр (-37Г//4), о = sgn lm(w& - vvs). 01-74)
Оценка погрешности в (11.74) равномерна по параметру (wft - w,). Чтобы
получить последующие члены асимптотического разложения J, функцию St (w)
(11.73) нужно представить в виде (11.70) и повторить выкладку, приведшую
к (11.72).
Аналогично, изложенному выше проводится рассмотрение и в общем случае,
когда показатель экспоненты в (11.63) равен p/(w) н функция ftw) имеет
единственную простую седловую точку. Заменой переменных (21.4) такой
интеграл сводится к (11.63). Однако разрез на плоскости s может иметь
сложную форму. Возникает вопрос: как выбрать параметры эталонного
интеграла (11.64), чтобы обеспечить подобие в относительном расположении
контура интегрирования и разреза в эталонной н исходной задачах? Ответ на
этот вопрос дан в работах [87, 373]. Равномерная асимптотика однозначно
определяется по известной локальной асимптотике, полученной методом
перевала для изолированных критических точек.
В соотношении (11.74) при |w| ^ 1 значения функций параболического
цилиндра - порядка единицы, а коэффициент при Dp+1 равен 0(р~1!2).
Поэтому в фигурных скобках доминирует первое слагаемое. Напротив, при |
wb - ]>, 1 оба слагаемых дают вклады одного порядка. При боль-
ших значениях | и |, пользуясь асимптотикой (11.69), получаем ¦ (я/р)112
ехр (/я/4) g(ws)(ws - Wbf [1 + 0(p~l)],
I argм| < 7t/2, [и[>1. (11.75a)
(я/р)112 exp (m/4) g(ws) (w, - w6)P [1 + 0(p'')] +
+ 2яГ'' (-(3) og(wb) [2pa(wb - w,)] "1 -<i exp [/pe(w" - W,)2 -- /Я0/2]
[1 +0(p'')], |argu|>x/2, |u|>l. (11.756)
В правой части (11.75a) стоит главный член обычного вклада перевальной
234
точки (ср. (11.9)). Дополнительное слагаемое в (11.756) представляет
собой вклад точки ветвления, затрагиваемой при деформации контура
интегрирования к перевальному пути в случае | arg и | > п/2. Разиость
значений подынтегральной функции в (11.63) на дальнем от вещественной оси
и ближнем берегах разреза равна (ср. (11.17))
(w) = ?(w) (w - wbf(eiv0 - e~,TrfJ) о = 2io sin n{} e~l"Pag(w) (w - w6/,
(11.76)
где (w ~wb)0 берется на дальнем берегу (см. рис. 11.3). Используя
(11.76), легко убедиться, что второе слагаемое в (11.756) в точности рав-
ио рассчитанному методом перевала главному члену вклада точки ветвле-иия
(11.20), где следует положить f (w) = ia(w - vv^)2, m = 0, A2 =0.
Отметим, что полученные для интеграла (11.63) результаты справедливы при
произвольных значениях 0. При целых (3 > 0 никакой сингулярности
подынтегральной функции нет. В этом случае функции параболического
цилиндра Dq, Dq+ i сводятся к элементарным. При целых отрицательных (3
подынтегральная функция имеет полюс. Формула (11.74) в явном виде дает
главный член равномерного асимптотического разложения интеграла с полюсом
произвольного порядка. Функцию Dq с целыми отрицательными индексами можно
выразить через интеграл вероятностей [240, гл. 7,19].
Получим теперь асимптотику интеграла в полубесконечных пределах
+ оо
/= / и^ЛУ)ехр [|'р$У)1 dw, (11.77)
о
в котором подынтегральная функция стремится к нулю при w -*+<". Она может
иметь особенность в начальной точке контура н близкую к ней простую
перевальную точку ws. Функции Fhi/j будем считать регулярными и
предполагать, что стационарная точка - единственная, а - вещественна при
