Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
параметра, а не только при
11.2. Интегралы по вещественной переменной. Часто встречаются интегралы
вида (11.1), в которых коитур у представляет собой вещественную ось иди
ее часть. Примером их служат интегралы Лапласа, где у - отрезок [д, Ь\, а
функция/ принимает иа этом отрезке вещественные значения. Нас по-прежиему
будет иитересовать асимптотика интегралов при р -* +°°. В сущности, мы
имеем здесь вырожденный случай задачи, рассмотренной в п. 11.1: исходный
контур интегрирования совпадает с путем быстрейшего спуска, Поэтому на
интегралы Лапласа переносятся все полученные выше результаты. Для их
вывода не требуется дефор" мировать контур интегрирования в комплексной
плоскости. Следовательно, можно отказаться от требования аналитичности
функций, считая функции / и F бесконечно дифференцируемыми в окрестностях
точек а, й и максимумов /(w), и кусочно-непрерывными и ограниченными иа
интервале (а, Ь). Если / и F или их производные терпят разрыв в конечном
числе точек af,i - \то асимптотику интеграла легко получить, разбивая
отрезок {а, Ь\ иа интервалы (а, а\), (дь а2),..., (Д/, b) и суммируя
известные асимптотики интегралов по этим интервалам. Так удается
рассмотреть и случаи, в которых / достигает максимума в точке разрыва.
Большое значение имеет другой специальный случай, когда f (w) = = *V(w),
функция i,p вещественна, у = [а, Ь\. В этом случае (11.1) называют
интегралами Фурье. На контуре интегрирования постоянна вещественная часть
показателя экспоненты в (11.1), а не мнимая, как на пути быстрейшего
спуска. При больших р вещественная и мнимая части функции f'(w)exp[iW(w)]
сильно осциллируют, н две соседние полуволны 15. Л.М. Бреховских "
225
имеют близкие по величине, ио противоположные по знаку площади. Поэтому
сумма таких площадей мала. Основной вклад в интеграл дают конечные точки
контура интегрирования, определяющие число полуволн на отрезке [а, Ь\, и
окрестность стационарных точек, где фаза меняется медленнее всего.
Облечем эти качественные соображения в строгую форму. Пусть на отрезке
[а, Ь] имеется единственная стационарная точка w,, причем *Р r(wi) *0,ws
Фа,Ь. Сделаем замену переменной по формулам
= ">("<) + 0,5/К)1!, Ф(s) = F(w)dwlds, (Ц 27)
ф, (s) Si [Ф(5) - ф(0)]/з.
Отметим, что
dwjds\s=.0 ~ 1, s(a) < 0 < s(b). (11.28)
Интеграл (П.1) принимает вид
S(b)
1 = exp[i'pv?(ws)3 / dsexp[ipls2]№(0) + 5<M*)], s(a)
1 "
Pi = ' P'P W-
Легко видеть, что
(11.29)
s(b) *(") +" dexpO'p.s2)
/ exp(ip,r )ds = / exp(ip,j2)di - ( / + / )-------------- =
s(.a) s{b) 2ip,S
= -J ; expfi'-sgnp,) + {s'1 (a) exp [ip, j2 (a)[ -
I Pi I \ 4 / 2p,
- s'1 (*)exp[jp,s2(*)]} +0(PT2). (11.30)
Интегрируя по частям в (11.29), при учете (11.30) получаем
J = Ф(0) V; : exp iPy>(ws) + - sgnp,
I Pi I I 4
exp [ipy(Wj) + ip,s2)
--------------------------ф(5)
2ip,s
s(b)
s(a)
i Hb)
x + exp[rp-p(w,)] / exp(ipls2)9\(s)ds + 0(pi2). (11.31)
2pi i(fl)
Функция Ф, (s) не имеет особенностей. Поэтому интеграл в правой части
(11.31) стремится к нулю при pt -+00. Еспи Ф(з) - достаточно гладкая
функция, то последующие члены асимптотического разпожеиия можно лопучить,
представляя Ф, в виде ф', (s) = ф\ (0) + "Ф2 (s) и повторяя
интегрирование по частям. При помощи (11.27) выразим входящие в
(11.31) величины через значения функций F н ^: i ( F(a) F(b) \
J = -t -- exp[w(a)] - --exp[ip0(i)]} P I <P (<0 V (b) )
s-
expl + i-sgn/(w,)|FOi>,) + o(p"' ). (11.32)
Pi t (w,)l I 4 1
Для справедливости (11.32) достаточно, чтобы функция f'(w) была дважды
непрерывно дифференцируемой. Результат (11.32) называют первым
приближением метода стационарной фазы. Его можно было получить также из
(11.15) и (11.9), заметив, что перевальный путь пересекает вещественную
ось в точке ws под углом (7i/4)sgn iр"(ws). Если подынтегральная функция
в (11.1) - аналитическая, то метод стационарной фазы является частным
случаем метода перевала.
Рассмотрим теперь асимптотику кратного интеграла Фурье /= JdnwF(w) ехр
[ip^(w)]. (11.33)
Здесь и" = (wj, и'2, • • . , и>я) - л-мерный вещественный вектор, \р и F
- достаточно гладкие функции, ие имеющие особенностей. Интегрирование
ведется по всему пространству и предполагается, что подынтегральная
функция стремится к нулю при w -><".
Пусть ws - единственная стационарная точка функции <р, т.-е.
* о, /=1,2,...,". (11.34)
Будем считать стационарную точку простой. В ее окрестности ^ является
квадратичной функцией компонент вектора и = w - ws:
1 "
*(w) **(*,) + г S + 0(i#"),
2 I,m= I
(11.35)
alm - '
bwtbwm
Коэффициенты alm можно рассматривать как компоненты матрицы А. В
многомерном случае стационарная точка будет простой (невырожденной) ,
если det А Ф 0 (ср. (11.3)).
Как известно, любая квадратичная форма линейной заменой переменных и-By,
где В - квадратная матрица, может быть приведена к диагоиаль-номувнду
(см. [146, § 13.5])
" я Я л Л
2 almUiUm = 2 qjvj, причем П <?/ = det/4(detВ)2. (11.36)
l,m = l i = I / = 1
Выполняя в (11.33) замену переменных w = wa + Bv, приходим к интегралу
