Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
- (Si - $2) - Отсюда следует, что в плоскости s линиями /1 = = const и
/2 = const являются два ортогональных друг другу семейства гипербол (рис.
11.1). Вещественная ось s2 = О совпадает с перевальным контуром; она
является одной из лннвй /2 = const н перпендикулярна линиям /j * const.
Заметим, что через точку перевала s = 0 проходит еще одна лнння /2 =
const, а именно мнимая ось (s2 = 0). Однако на этой линии /1 имеет
минимум прн s = 0. Таким образом, линия = 0 - это путь быстрейшего
нарастания, а не путь спада/1.
Представим себе мысленно рельеф функции (sl5 s2) над плоскостью i!, s2.
Вблизи точки 5 = 0 этот рельеф будет иметь вид седла, так как по обе
стороны от нее вдоль вещественной оси он опускается, а в перпендикулярном
направлении - вдоль мнимой оси, поднимается. Проходя по вещественной оси,
мы сначала, при прнблнженнн к точке s = 0, поднимаемся по рельефу, а
затем, пройдя эту точку и как бы перевалив через хребет, опускаемся.
Поэтому точка s = 0 и называется точкой перевала. Иногда о ней говорят,
как о седловой нлн стационарной точке.
Интеграл по контуру у согласно теореме Коши может быть заменен интегралом
от той же функции, взятым по перевальному пути уг. Возможно только, что к
нему придется добавить некоторые слагаемые, получающиеся прн обходе
особых точек, если они встретятся прн деформации контура у в 7i. В
частности, если нам придется обойти полюс, то добавится вычет в этом
полюсе; если подынтегральная функция многозначна, то, возможно, нужно
будет добавить интеграл по берегам проведенного соответствующим образом
разреза. Например, в случае, изображенном на рнс. 11.2, интеграл по
контуру у равен сумме интегралов по перевальному контуру у н контуру 72
вокруг разреза, а также вычетов в полюсах wpi н wp2• Отметим, что разрез,
связанный с точкой ветвления wb2, и полюсы wp3, и"р4 не дают вклада в
интеграл Не рассматривая здесь всех этих добавок, остановимся на
вычислении интеграла по перевальному пути.
Прн помощи (11.4), интеграл (11.1) запншемввнде
/ = ехр[р/(и*а)] / ехр(-р5а)Ф(л)Л, (115)
219
Так как р велико, то под интегралом будут существенны только малые
значения s. Поэтому функцию Ф(у) целесообразно представить в виде ряда
Тейлора:
4>(s)= 2 Ф(ч (O)s'//!. (U.6)
1=0 ",
Используя интегральное представление Г-фуикции Г (и") - Jsw 1 e~~sds,
о
получаем
*(р,п,т)з/ ""exp(-psm+1)ds = -г/^-)р'("+1)/(т + 1)-
v о т +1 \т +1/
(П.7)
При m * 1 и п = 2"i четном
?(р
, 2л,, 1) = -^ г(л, + ^р'(п' +0'5) = ~ (л,)!p'(n> +0's). (11.8)
Подставим ряд (11.6) в (11.5) и поменяем порядок суммирования и
интегрирования Все члены с нечетными степенями s при интегрировании дадут
нуль. Для интегралов с четными степенями s воспользуемся формулой (11.8).
В результате получаем для J ряд по обратным степеням большого параметра
р:
J = гарЬ>Ди>,)К/- 2 ф(2°(0) * . (11.9)
р i = o 2 р /!
Бели функция Ф(у) изменяется достаточно медленно по сравнению с
экспонентой ехр(-ps2), т.е. если ее производные достаточно малы, то в (i
1.9) можно ограничиться одним или несколькими первыми членами.
Найдем в явном виде два первых коэффициента асимптотического ряда (11.9).
Разлагая /в (11.4) по степеням i/=w-ws, получаем
7/"(ws)"2 + 7/'"К)ы3 + ^/'iv)(w>4 +... =-sJ. (li.io) 2 6 24
Обращая этот ряд, можно представить и в виде ряда по степеням у. Для
этого положим
а = V-2lf"(ws) s- (1 + a,s + a,s2 +...). (11.11)
Подставляя (11.11) в (11.10) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степеняхs, находима, (где/ =1,2,...).
После простых выкладок из (11.11) и выражения (11.5) дия Ф(у),
гacdw/ds -dulds, получаем
Ф(0). т. (^У12 (с _ ?zi)
/ Ю Ф(0) \/ / \6 2F
Ф"(0) Г F'f" /(|у) 5(f'")2 F" ]
7777FT ~--=77Г \ 0112)
2Ф(0) L F(f"f 4(f"f l2(f"f Ff" J w =
Знак радикала в (11,12) определяется из соотношения (11.11), со-220
гласно которому при малых положительных значениях s имеем
arg\/-2//" (ws) = arg (w - w,) - х" где x - угол между направлением
касательной к перевальному контуру Ух и положительным направлением
действительной оси на плоскости w при и" = ws.
Явное выражение дня третьего члена в (11.9) и рекуррентные формулы для
последующих членов даны в [33].
Асимптотический ряд (11.9), вообще говоря, расходится. Наилучшее
приближение получается (см. [402, гл. 7]), когда ряд оборванна наименьшем
члене, причем последний включается в сумму с множителем 1/2.
Рассмотрим теперь другой случай, когда ннте!рал (11.1) берется по
полубесконечному контуру. Пусть контур у начинается в точке w = а и
уходит на бесконечность, причем подынтегральная функция стремится к нулю
или остается ограниченной при j w \ -* <", w Е 7. Пусть далее а Ф Ф Wj.
Продеформируем коитур у к пути скорейшего спуска 73, проходящему через
точку а:
f(w)=f(a)-s, WG73, 0<s<+oe, (11.13)
и учтем при необходимости вклады особых точек, расположенных между 7 н
73. На контуре 7з мнимая часть функции / постоянна, а вещественная часть
f х = /1 (а) - s </1 (а); значение s = 0 соответствует начальной точке
