Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
10.2, и более подробно излеожен метод интегрального уравнения для Ф (?) -
вертикальной зависимости звукового давления. Этим методом получен
коэффициент отражения IB борновском (рэлеевском) приближении для
неподвижной среды с постояншой плотностью.
208
Оценку коэффициента отражения от среды с кусочно-непрерывными параметрами
можно получить, заменяя их значения средними по области непрерывности
величинами и сшивая получающиеся решения волнового уравнения на границах
раздела [241]. Такая оценка будет точной для дискретно-слоистой среды и в
общем случае годится для набора тонких или слабонеоднородных слоев.
10.4. Отражение от границ раздела в непрерывно-слонстой среде.
Приближение ВКБ и результаты метода эталонных уравнений дают весьма
полное описание распространения волн в среде, параметры которой являются
достаточно гладкими функциями z и мало изменяются на расстояниях порядка
длины волны. На практике часто встречаются задачи, когда свойства среды
можно считать удовлетворяющими этим требованиям в отдельных слоях, на
границах между которыми испытывают скачок плотность, скорости звука или
течения или производные этих параметров. В акустике океана примером такой
границы может служить поверхность морского дна. По обе ее стороны среды
часто считают непрерывно-слоистыми, но на самой поверхности скорость
звука и плотность разрывны. В сейсмике границами рассматриваемого вида
являются, например, Мохо и поверхность раздела ядро-мантия. В таких
случаях мы будем говорить о распространении волн в плавно-слоистой среде
с границами.
Даже если параметры среды являются весьма гладкими функциями z, при
численном моделировании распространения волн быстродействующие алгоритмы
удается получить, как правило, аппроксимируя среду набором слоев, в
каждом из которых точное или приближенное решение волнового уравнения
получено аналитически [53, 113, 185], [4, гл. 7, 9]. Если принята
кусочно-постоянная аппроксимация, на границах слоев разрывны сами
параметры. Гой же точности результата при значительно меньшем числе слоев
позволяют достичь линейная и другие, более гладкие аппроксимации, когда
на границах слоев параметры остаются непрерывными, а скачок испытывают
только их производные по 2. Такие границы называют слабыми границами
раздела. Происхождение этого названия будет пояснено ниже. Оно
применяется также к границам, на которых скачок испытывают сами
параметры, но его относительная величина много меньше единицы.
Расчет коэффициента отражения от плавно-слоистой среды с границами, в
принципе, прост. Пусть, как и в п. 2.5, между двумя однородными жидкими
полубесконечными средами, которым мы припишем номера 1 и п + 1 находится
п - 1 слой жидкости. Между границами z; (/' = 1,2,..., п) плотность Pj
(z), скорость звука с;-(z) и скорость течения v0y (2) -гладкие функции.
Рассмотрим отражение плоской волны, падающей на границу z" верхнего слоя.
Обозначим ? горизонтальный волновой вектор, a Wy(z) - проекцию Vq/(z) на
направление ?. Эффективный показатель преломления A^(f) в каждом слое
определен соотношениями (8.2), (8.3), где удобно считать ро = Pi> 2о -
Zj. Общее решение волнового уравнения в каждом слое дается формулами § 8
и 9:
Ф/(?)= ^1>Ф{1)(П+^2)Ф/(2)(Г), Л}а-2> = const. (10.43)
Если в слое нет точек поворота и резонансного взаимодействия, то фР'2^
представляют собой ВКБ-решения, если имеется единственная точка пово-
14. Л.М. Бреховских
209
рота, то фМ*2) выражаются через функции Эйри н тд. Решения Ф^1,2*, вообще
говоря, представляют собой асимптотические ряды по степеням ко1. В нижней
среде (z < z,) имеется только уходящая от границы волна
Ф,(П=И'ехр(-1*о^1Г). (10.44)
Для границ слоев по вертикальной координате f мы используем обозначения
fy = f (z;).
Коэффициент отражения будем искать тем же методом пересчета импеданса,
который был использован в § 2 для дискретно-слоистой среды. Обозначим
ZS{2 , как в п. 2.5, импеданс волны при f = fy. Эта величина имеет смысл
входного импеданса системы из / - 1 слоев, лежащих на полупространстве.
Согласно (10.6), получаем
Z(f)=- iwpi
Д<2>
Ф 0)+^--------фр)
' д}1) '
Э^+./2) ЭФ}2>
af д}'> af
f/-i<f<f/- (10.45)
При f = fy_! импеданс Z = _1^, а при f ?= fy имеем Z = Z\!nK Выражая
с помощью (10.45) отношение Д(2\/Д|^ через и подставляя это
отношение обратно в (10.45), после простых выкладок получаем формулу для
пересчета импедансов с нижней границы /-го слоя на верхнюю:
Zt'^iupi [atZ^~^ + а2/сор,] \a3iuP] +a4Zi(I{~,)]"1, (10.46)
1ft
где
эф}2>(Г/_,) m эф*1^,) "д = Ф}1 )(Г/) -;--------------Ф}2)(^)-
3f ' ' 3f
°2=фу )(fy) ф}2 )(fy_ , ) - Ф}:1 >(f/_ , ) Фу<2 Vfy),
эф12)(У ЭФ/1>(?/)
я3 = Ф, (f/- 1) 77-----------Ф}2)(?/-1)
(10.47)
а4 =-
af ' v' af
ЗФу1 )(f/- i) ЭФ;<%у) эф) 1 >(Гу) ЭФ{2)в>_,)
af af af af
Взяв Фу(1'2> (f) = ехр (± ik0Nj (f - fy_i)) можно убедиться, что для
однородных слоев формулы (10.46) -(10.47) переходят в известный результат
(2.66).
Входной импеданс нижнего полупространства, согласно (10.47), равен
