Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
с большим пространственным масштабом изменчивости к. Обобщение метода на
случай отраженлия от упругих слоев предложено в [191].
Рассмотрим среду, в которрой эффективный показатель преломления N мало
отличается от постоянноиго значения^ = [n2|3i - %2ка2 ]l'2 Ро (pi Й)-2 :
N2 =7Vl[l +е(?)], |е|"1. (10.37)
Вклад в величину е могут даавать вариации плотности, скоростей звука и
течения или всех трех параметров вместе. Пусть точка f находится выше
неоднородного слоя. Тогда терхний предел интегрирования f в (10.36) можно
заменить на +°°, не иззменяя значения интегралов. Из первого приближения
(10.36), интегрируя по частям, получаем
К(1Ч?) = "~ей1^ (10.38)
2 -оо \\7V | /
В случае малых неоднородностей In(N2/N'{) = 0(e). Ограничиваясь в 206
(10.38) главным членом разложения по степеням е и переходя к
интегрированию по не зависящей от свойств среды переменной z, при учете
(1035) находим
ik0 ( , , ?2 \ 1/2
х_/ е(г1)ехр[2|Мг-г1)("1в?-^ J dzx +0(е*). (10.39)
Разность V^ пропорциональна е3 (см. (1036)), поэтому при
достаточно малых е отличием V^ от предела итерационной последовательности
можно пренебречь. Основная погрешность формулы (10.39), таким образом,
связана с отбрасыванием квадратичных по е членов в
(10.38).
Результат (10.39) называют борновским (или рэлеевским) приближением для
коэффициента отражения [260, гл. 3, § 5], [228, гл. 4]. В этом
приближении коэффициент отражения плоской волны пропорционален плотности
спектра <Г(к) возмущения e(z)
ё(к) = Т" 7 е(21)е-'^2,, (10.40)
2тг - ¦*>
взятой при к, равном удвоенной вертикальной компоненте волнового вектора
падающей волны:
К(г) = /тгд1е2'м<2 е(2д,), pt = (к%п\$\ - ?2)1/2. (10.41)
Условия применимости борновского приближения оказываются довольно
жесткими: помимо малости возмущения в точке (| е| < 1) следует требовать
малости коэффициента отражения и возмущения фазы волны х (z) -
- 2/ii (z - zо) во всей среде. Два последних требования накладывают
ограничения на толщину неоднородного слоя.
Можно показать, что первое приближение (10.36) соответсгвует учету
однократных отражений в неоднородной среде (см. п. 8.2), последующие же
приближения - двукратных и многократных отражений [52, § 25.5].
В качестве примера расчета коэффициента отражения методом
последовательных приближений рассмотрим нормальное падение волны на слой
- Ж z < 0, в котором скорость звука меняется линейно:
с = Ci(l -Az/H). (10.42)
Плотность считаем постоянной по всей среде. В полупространствах z > Ои z
< - Н скорости звука равны с, и с2 = с j (1 + А), т.е. на границах слоя
градиент скорости испытывает скачки. Точное значение коэффициента
отражения для этого случая дается формулой (3.150). Сравним его с
результатами расчетов в рамках второго приближения для обоих описанных
выше методов.
На рис. 10.1, а приведены результаты вычислений модуля коэффициента
отражения р = | V \ при А = - 1/2. По оси ординат отложена величина р в
натуральном масштабе, по оси аосцисс - к1Н в логарифмическом масштабе.
Кривая 1 рассчитана по точной формуле. Кривая 2, рассчитанная по ме-
207
Рис. 10.1. Сравнение результатов точжого (кривые /) и приближенного
(кривые 2 и 3) методов расчета коэффициента отражения для слоя с линейным
профилем скорости звука (10.42) в двух случаях: прнА =-1/2 (а) и при А =
6 (б)
тоду последовательных приближений для слабо отражающих слоев (формула
(10.36)), при всех значениях кхН практически совпадает с кривой 1
(отличие значений р не более, че:м на 1%). По самой своей структуре метод
(10.36) хорошо приспособлен ,для отыскания положения нулей
коэффициента отражения. Полученные приближенно значения kiH, для которых
V ~ 0, совпадают с истинными с тгочностью не меньше 0,02%.
При малых к\Н кривая 3, рассчитанная по формуле (10.30), дает значения р
с высокой степенью точности. Однако последняя быстро уменьшается и при
kiH - л/4 погрешность (доставляет уже около 1%. При дальнейшем росте
значений куН приближение (10.30), полученное в предположении к\Н < 1,
дает неудовлетворительные результаты.
Рис. 10.1, б относится к случшю А = 6, когда градиент скорости звука
имеет существенно большее значение. Как и следовало ожидать, формула
(10.30) по-прежнему хорошо рааботает при малых к\Н-, если кхН = л,
отличие точного решения от приближенного составляет 0,7%. Наоборот, метод
(10.36) дает значения р с погрешностью, меньшей 1% только при кхН > 8,25,
когда модуль коэффициента отражения становится достаточно малым.
Методы последовательных приближений (10.24) и (10.36) в известной мере
дополняют друг друга: первый способен учесть большие градиенты и скачки
параметров среды, но ггодится только при малой величине фазового набега
волны в слое; второй! отслеживает изменение фазы на больших расстояниях,
но плохо передает отражение от границ раздела внутри слоя.
Для расчета коэффициента отражения используются, помимо описанных выше, и
другие подходы. Так, в [260, гл. 3, § 5] в более общем виде* чем в п.
