Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
Ои имеет полюсы при значениях f, определяемых из уравнения
(10.67)
S N^)di = k0 f (пгр -JJ/to)1'1 *=>"/, /=1.2,... (10.68)
О 2,
216
ней и нижней границ слоя и повторяя приведенные в п. 2.4 рассуждения,
получим формулу (2.57) для коэффициента отражения от слоят К* = (^32 +
I'ai е2**) (1 + V32 Уце2^)'1. Здесь коэффициенты отражения луча У32 от
границы сред 3 и 2 и V3 \ от границы сред 2 и 1 равны
= [А^Ы-А^НЛ^Ы + А^)]-',
= [ЛГ2(Г,)--Л'1(!',)] [A2(r1) + A'I(f1)]"1.
а фазовый набег \р определен формулой (10.65). Легко проверить, что
подстановка (10.69) в (2.57) дает тот же результат, что и полученная
другим способом формула (10.66).
§11. Метод эталонных интегралов
Чтобы применить полученные выше результаты к исследованию поля точечного
источника звука, необходимо владеть методами анализа интегральных
представлений поля. В этом параграфе мы рассмотрим асимптотические оценки
интегралов вида
•f = /exp[jo/(w)]F(w)dw, р> 1. (11.1)
у
Здесь f(w) и У'(и') - аналитические функции комплексной переменной w; 7 -
контур интегрирования в комплексной плоскости w, который в частном случае
может охватывать только вещественные значения ч>. Как мы увидим в гл. 3 и
4, такие интегралы возникают прн решении задачи о звуковом доле
сосредоточенного источника в слоистой среде методом разделения
переменных. Аналогичные интегралы появляются прн исследовании формы
импульса, распространяющегося в диспергирующей среде, дифракции волн на
телах сложной формы, в квантовомеханнческой теории соударений и во многих
других физических задачах.
Асимптотическим оценкам интегралов посвящена обширная литература [117,
145, 163, 166. 200, 202. 223, 257, 275, 309. 314, 345]. Прекрасное
изложение вопроса иа физическом уровне строгости дано в работах [261] н в
[260, гл. 4]). Универсальным способом построения асимптотик интегралов
вида (11.1) является метод эттонных интегралов. Не вдаваясь в строгие
математические обоснования, мы олищем центральную идею этого метода н его
основные результаты.
Наиболее употребительным вариантом метода эталонных интегралов является
метод перевала. Иногда его называют также методом наискорейшего спуска
илн методом седловон точки.
11.1. Метод перевала. Путь интегрирования в комплексной плоскости в
известных пределах можно деформировать, не изменяя значения интеграла.
Пользуясь этим, постараемся выбрать его так. чтобы только сравнительно
короткая его часть определяла значение интеграла (11.1). Тогда, как мы
увидим, подынтегральную функцию удается заменить на другую, более
простую, достаточно точно совпадающую с исходной на этом существенном
участке контура интегрирования.
Не ограничивая общности, величину р в (11.1) можно считать вещественной н
положительной. Выделим в /(и") вещественную и мнимую час-
217
ти: /(w) = /, (w) + i/2 (w). Тогда экспонента под интегралом будет равна
ехр(/р/2 + p/i). Пусть контур 7 в (11-1) бесконечен. Новый контур
интегрирования 7! будет удовлетворять указанному выше требованию, если /1
имеет в некоторой его точке ws максимум и спадает насколько возможно
быстро или удалении от этой точки. Но мнимая н вещественная части
аналитической функции - в нашем случае /2 и Д - обладают тем свойством,
что в плоскости w линии быстрейшего спада одной из них являются линиями
постоянных значений другой. Следовательно, контур 7( должен совпадать с
линией постоянной фазы /2 = const. В точке ws производная от /, равна
нулю. Поскольку ws лежит на линии постоянной фазы, равна нулю и
производная от /2. Таким образом, точка ws может быть найдена нз
уравнения
df(ws)/dw = 0, (11.2)
ws называют точкой перевала. Итак, наиболее выгодный путь интегрирования
должен проходить через точку перевала по линии/2 " const. Такой путь мы
будем называть перевальным. Когда значение р велико, модуль экспоненты в
(11.1) при удалении от точки перевала будет быстро спадать, так что
существенную роль будет играть только малая часть контура интегрирования,
лежащая в окрестности ws.
Предположим временно, что точка перевала единственна, и d2f(ws)!dw2 Ф0.
(11.3)
Легко видеть, что перевальный контур - это геометрическое место точек, ,
определяемое уравнением
f(w) = f(ws)-sz, -(r)°<s<+°°. (11.4)
Действительно, из (11.4) следует, что }\ (и") = /, (w5) - s2 </) (ws),fi
(w) = =/2 (h'j) . Точка перевала соответствует s = 0.
Рис. 11.1. Линии уровня вещественной и мнимой частей показатели
экспоненты в окрестности точки перевала s = 0. Точками выделены области,
где Re у1 > 0
21В
Рис. 11.2. Преобразование исходного контура интегрирования 7 к
перевальному пути 7,: wpj (/ =
= 1, 2, 3, 4) -полюсы, wbj (j ~
- 1, 2) - точки ветвления подынтегральной функции
Перейдем в интеграле (11.1) к новой комплексной переменной s с помощью
уравнения (11.4). Если выполняется условие (11.3), то s(u'),
/(k'(s)) и F(w(s)) -аналитические функции [232, § 32].
На плоскости s перевальный путь интегрирования совпадает с вещественной
осью.
Разделим вещественную и мнимую части s: s = Si + is2. Тогда/ = f(ws) -
