Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
преобразований получаем по формуле (10.21) коэффициент отражения
- коэффициент отражения при нулевой толщине слоя. Для неподвижной среды с
постоянной плотностью этот результат был получен в [419]. В
противоположном случае однородной движущейся среды для нескольких типов
профилей скорости течения аналогичные результаты получены в [252].
Увеличивая число итераций, можно найти последующие члены разложения
коэффициента отражения по степеням кхН. Для случая неподвижной среды
вторая итерация дает:
Здесь мы явно выделили зависимость от ?, использовав обозначения
-я р \ 02 / -н р2 J
где
Kotf) = (Vi -ВДМ +N2)
(10.29)
kjpiiMj +(kl-e)kj2M3f
]}
+ 0(/fc?tf3).
(10.30)
Mi={k\H)-ip2 f dz[k2(z)-k\) ---я p(z)
9 1
M2 = (kxHГ2 f dz(f p(u) du ) [к2(z) - k\] - , '-H 0 p(z)
(10.31)
204
Коэффициент отражения определяется интегральными характеристиками
распределения плотности, скоростей звука и течения в слое: волна как бы
осредняет параметры среды на расстояниях, малых по сравнению с
собственным вертикальным масштабом. Если нет диссипации и не происходит
полрого отражения, величина К0 - чисто вещественная, а поправка первого
порядка по кхН к V0 оказывается чисто мнимой. Она сказывается только на
фазе V(?), т.е. наличие слоя влияет на отражение так же, как смещение
отражающей границы.
В случае неподвижной среды, согласно (10.30), неоднородный слой
акустически характеризуется четырьмя величинами, не зависящими от частоты
и угла падения волны. Если ограничиться линейными по кх Н членами, то
таких величин останется только две: Мх и М3. Для движущейся среды первый
интеграл в (10.28) необходимо вычислять отдельно для каждого значения ?.
Поэтому угловая зависимость коэффициента отражения может быть значительно
сложнее, чем в случае неподвижных сред. Что же касается зависимости V от
частоты при фиксированном угле падения, то в линейном приближении по
кхНона характеризуется одним интегральным параметром (см. (10.28), где %
^ со, а величина /3 не зависит от частоты).
На этом мы закончим обсуждение формул (10.28) и (10.30). Более подробный
анализ можно найти в [89,94].
В заключение используем интегральное уравнение (10.23) для обоснования
сформулированных в п. 6.1 утверждений об аналитической зависимости от
параметра звукового давления, а также коэффициентов отражения и
прозрачности для плоской волны в неподвижной среде. Рассмотрим на
комплексной плоскости % (точнее, поверхности Римана) область | % \ < < ?0
¦ Воспользуемся сходимостью итераций (10.24) при произвольной толщине
слоя. Заменим в оценке (10.25) величину Q на большую:
о
Q<Q0 а шах Ц| к2| + ?20)р-2 (/ pdz )2 } . (10.32)
-H<z<О -я
Тогда из (10.25) следует, что последовательность Ф(,1(?, f) сходится к
решению Ф(|, f) абсолютно и равномерно по % из круга | % | < ?0.
Функция Ф^ ^ аналитически зависит от ?; Ф^ определяется в (10.24) через
интеграл от ф^-1) и поэтому также будет аналитической [226, § 16]. Тогда
функция Ф(?, f) будет аналитична по % как предел равномерно сходящейся
последовательности. Значение ?0 было выбрано произвольно, следовательно,
Ф аналитична при всех конечных %. Аналитичность коэффициентов отражения и
прозрачности вытекает из (10.21), (10.22).
10.3 Метод последовательных приближений для слабо отражающих слоев [45].
Запишем уравнение (10.3) в виде
[ Vехр(- 2i*0 } ЛИГ, )] = 7(1 - К2)ехр(- 2/*0 / ЛИГ, )¦ (Ю.ЗЗ)
of Го Го
Нижний предел интегрирования f0 в экспоненте является произвольным.
Уравнение (10.33) с граничным условием (10.5) эквивалентно интеграль-
205
ному уравнению
ехр ( - 2flt0 I NdU ) F(f) ) = / Г(1 - V2 ) exp(- 2ik0 f Nd^ ) #2,
fe " ?0 (10.34)
которое мы снова будем реишать с помощью итераций. Считая у малой
величиной и пренебрегая в нуулевом приближении правой частью, получаем
Р*0* (?) = 0. Это соответствует (первому) приближению геометрической
акустики, в котором, как мыы видели в § 8, волна распространяется в среде
без отражения.
Подставляя в правую частьь (10.34) V = 0 и обозначая
"(?) = 2*о/МГь (10.35)
?0
получаем в первом и последугющем приближениях
(10.36)
oo
где от = 1, 2, ... В тех случаях, когда это удобно, в формулах (10.35),
(10.36) легко перейти к г интегрированию по г при помощи равенства Ро#
= P$2dz, следующего изз (8.3). Фактически интегрирование в (10.36)
проводится по толщине неодцнородного слоя. Если функция y(f) во всех
точках ограничена по величиине, что согласно формулам (10.3), (8.2)
означает отсутствие мест, где iпараметры среды изменяются скачкообразно,
а также отсутствие точек i поворота или резонансного взаимодействия (см.
п. 8.1), то при от -> (мы получаем сходящуюся последовательность для
К(?). Это непосредствеенно следует из общих критериев сходимости метода
последовательных прриближений (см. [216, § 42], [265, гл. 3]).
Последовательность получаешых приближений сходится тем быстрее, чем
меньше абсолютное значение квадрата коэффициента отражения | V\2. В
частности, благодаря малоости у, быстрая сходимость имеет место для сред
