Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
201
При е < 1 эта функция описывает волну, являющуюся в основном стоячей, так
как доминирует первый член. Однако это же выражение можно представить в
виде
A(z) = (cos 2bz + 2ecos bz + e2)1/2,
(10.15)
$(z) = arctg[e(l + e) 1 tg*z].
Тем самым, (10.13) как бы приобретает вид бегущей волны.
Поле в неоднородной среде в общем случае всегда можно представить в виде
(10.14), но разделить однозначно это выражение на сумму ''падающей" и
''отраженной" волн не представляется возможным. Более того, такое
разделение в общем случае не имело бы никакого физического смысла. Тем не
менее, в литературе периодически появляются рецепты разбиения поля на
''прямую" и ''обратную" волны. Критический разбор одного примера такого
рода можно найти в [511].
10.2. Отражение от тонкого неоднородного слоя. Для неоднородного слоя,
лроизведение толщины которого на вертикальную компоненту волнового
вектора падающей волны мало по сравнению с единицей, коэффициент
отражения можно вычислить, не делая предположений о характере
стратификации упругих параметров. В работах [44, 45] для этого в случае
неподвижной жидкости был предложен метод последовательных приближений. В
последствии он был обобщен на случай отражения от слоя упругой среды
[190]. Однако обосновать сходимость этого метода удается только для углов
падения, не близких к п/2 или критическому углу полного отражения. Ниже
мы изложим другой подход к расчету поля в тонком слое, пригодный при
любых углах падения волны [374, 94].
Пусть между двумя однородными жидкими полупространствами с параметрами pi
ct, v01 (z >0) и p2, c2, v02 (z < - H) находится слой, параметры p(z),
c(z) и v0 (z) которого являются произвольными кусочногладкими функциями.
Для упрощения выкладок будем считать и01 = 0. Это предположение не
ограничивает общности, поскольку переходом в равномерно движущуюся
систему координат можно обратить в нуль скорость течения на любом
горизонте.
Из верхнего полупространства на слой падает плоская волна с
горизонтальным волновым вектором ?. В нйжнем полупространстве звуковое
поле представляет собой плоскую волну, бегущую в направлении
отрицательных значений z. Удобно выбрать нормировку так, чтобы амплитуда
этой волны была равна единице. Тогда для звукового давления в иижней
среде, согласно (8.1), имеем
Ф(г) = Д(г)ехр(/.р(г)),
(10.14)
где
р = ехр[- ik0N2(i + i0) + i(r], здесь использованы обозначения
(10.16)
Z
Г(*)*рг' f P^i)p2(zi)dzu f0=-f(_tf)>о,
о
02 = 1-{Vo a/w.
(10.17)
202
Внутри неоднородного слоя звуковое давление удовлетворяет уравнению
Э2Ф/ЭГ2 +(*2/32 - *2)(д2/д02)2Ф = 0, -fo<r<0. (10.18)
На границе слоя f = - должны выполняться условия непрерывности Ф и ЭФ/Э^,
что прн учете (10.16) дает
Ф(-Го)=1, ЭФ (Го)/ЭГ--"*<М. (Ю.19)
В верхнем полупространстве
Ф(?) = Л exp(ik0Nt $)+В ехр(- ik0Nr f),
^.=(tf-?2)1/2д2/дь Г>о. (Ш-20)
Когда в слое найдено, коэффициенты отражения V(() и прозрачности W(i)
легко найти нз условий непрерывности Ф и ЭФ/Э при f = 0:
V(i)=A!B = [ftoJV,Ф(0) - /ЭФ(0)/Э?] [М^Ф(О) +|'ЭФ(0)/ЭГ]-', (10.21)
W(t)=l/B = 2k0Ni [AtqjV! Ф(0) + /ЭФ(0)/ЭИ_ 1 - (10.22)
Уравнение (10.18) вместе с условиями (10.19) представляет собой начальную
задачу (задачу Коши) для определения Ф(() i слое. Эта задача эквивалентна
интегральному уравнению
Ф(0-1-ад,0- + Го)-*5 / (Г-н)^2Ф(и)<&. (10.23)
-Г.
Действительно, подставляя в (10.23) значение f = - f0. получаем граничные
условия (10.19), а дважды дифференцируя обе части (10.23) по f,
возвращаемся к уравнению (10.18).
Соотношение (10,23) представляет собой интегральное уравнение Воль-терра
второго рода. Теория таких уравнений хорошо изучена (см., например [72]).
Онн обладают ценным свойством: последовательные приближения всегда
сходятся к решению уравнения. Точнее, итерационная последовательность
Ф(0)(Г)=1-/МЪ(Г + ГоХ
f (10.24)
Ф(/)(Г) = Ф(0)(Г) - / (Г - м) 7V2 Ф<^1 >(м) с/ы,
/=1,2,...
" fo
сходится абсолютно н равномерно по f к решению уравнения (10.23). Для
отклонения /-й итерации от точного решения Ф(?) справедлива оценка [72, §
17] (см. также (9.15))
Д" - max |ф(0(Г)-ф(О1<>/г+е №. (10-25>
*= /+1
где
Q= max |(*202-?2)(д02)-2 ( J I. (10.26)
-H<z<0 -Я
Используя конкретный вид ядра интегрального оператора в уравнении (10.23)
(его пропорциональность величине (f - и)) можно доказать более
203
сильную оценку:
Д<'> <ч/ГТё 2 Qs/(2s)l.
(10.27)
S = / + 1
Из соотношения (10.27) следует, что для вычисления Ф (О с достаточной
точностью при Q > 1 необходимо порядка Q1 итераций. Поэтому для толстых
слоев метод последовательных приближений (10.24) неэффективен. Напротив,
при Q < 1 последовательность итераций быстро сходится.
Будем считать, что неоднородный слой тонок по сравнению с длиной падающей
волны, т.е. кхН < 1, и что по порядку величины кх - к2 - - ^(z), рх - Рг
- Iо(г), 02 - 0(z) - 1. Тогда в соответствии с (10.26) имеем Q - (ktH)2 <
1. Для тонких слоев / итераций позволяет найти поле с точностью до
0((кхН)21+2). Проводя одну итерацию вида (10.24), после простых
