Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
Здесь сохранены только главные члены разложений | V | 2 и | W |2 по
степеням малых параметров к и ехр(- па1 2). По известным значениямЩ с
помошью формул (9.26) - (9.29) нетрудно найти коэффициенты при функциях
Эйри в асимптотиках звукового поля для окрестностей горизонтов поворота.
При <*i,2-V- * между горизонтами и z2 отсутствует область, где
справедливо приближение ВКБ, и изложенный выше подход не позволяет
построить асимптотику поля. Поскольку <*[ 2 - ? 2L/k, то в силу
предположения % L > 1 при <*1;2^1 заведомо имеем %/k< 1, однако
неравенства ?/fc -4 1 и ос j j ^ 1 могут выполняться одновременно. Таким
образом, анализ случаев %(к< 1 и >2 ^ 1 исчерпывает задачу.
Будем считать теперь, что %/к < 1 (почти нормальное падение). В качестве
эталонного воспользуемся уравнением (9.47), переобозначив в нем
независимую переменную: q(z -zc) =17. Замену переменной в эталонном
уравнении выберем так, чтобы пропорциональные со2 члены в коэффициентах
эталонного уравнения и уравнения (9.54) совпадали (см. (9.4)):
где т +% sin 2т =<p(z, zc)/ia.
Выбор нижнего предела интегрирования по г? обеспечивает совпадение'
полюсов z = zс и р (zc) = 0 в эталонном и волновом уравнениях. Совмещения
точек поворота z = z t и q(z t) = -2a1 ^2 можно добиться путем выбора
соответствующего значения параметра а. Из (9.66) и при учете (9.56) полу-
падать, если a=a2. Поскольку, вообще говоря, <*i Фа2, то при z >zc и
| К|2 = | 2)3/2>412 = 1 +ехр[-л(а1 +а2)] +пк ехр(-па2), | W |2 = |
(r),/(r)412 =ехр[-л(а1 +<*2)].
(9.64)
(9.65)
/ \/т?г/4 - adri = v?(z, zc), или ц = 2а1!2 sin т,
(9.66)
о
чаем <*=<*!. Аналогично, точки поворота z =z2 и r?(z2) =2а1/2 будут сов-
191
z < zc приходится использовать разные замены переменной цг,\ (z)>
отличающиеся параметром а.
Если к = 0, то невязка коэффициентов волнового и эталонного уравне-нений
ограничена при всех г. Исходя из (9.66) можно показать, что по порядку
величины невязка не превышает значения k\%L2 < k/L и стремится к нулю при
L Следовательно, главным членом высокочастотной асимптотики 'Е (z) будет
(Ч? т )"112 [Я№., е"-<* V 1(г)) + Е3Щ<*1 -е-3я,/4 тц(*))],
z<zc,
(9.67)
(Ч2Ч2) 1/2 [E3W(a2, е ть (z)) + EAW(a2, е 3,ri/4Tfe(z))],
Z ^ zc,
(9.68)
Здесь Ej - произвольные постоянные.
Если кф 0, то при z ->zc невязка содержит сингулярное слагаемое -к ? (z -
zc) -1. В этом случае, несмотря на то, что к -> 0 при L -*¦<*>,
результаты п. 9.1 позволяют гарантировать асимптотический характер
решений
(9.67) и (9.68) только вне некоторой окрестности горизонта z =zc,
размер которой можно оценить из условия малости величины к? (z - zc)_1 по
сравнению с %2 в коэффициенте в волновом уравнении: % \ z -zc \ > 1 /??,.
В окрестности горизонта z =zc формулы (9.67) и (9.68) проще всего
дополнить разложением 'P(z) в ряд по степеням z -zc. Пренебрегая в
уравнении (9.55) членом 0(Ь~2) по сравнению с ?2, получаем решения вида
(см., например [131, ч. 1, § 25.7))
V(z)=Flgi(u) + F2g2(u), u = %(z-zc),
gl = "2(1 + км/4 + "2/10 + ...), (9.69)
?2 = (к/3)(1 - к214)gi(u)\nu - м_1(1 - к "/2 -и112 + ...),
где F, и F2 - произвольные постоянные. Вследствие сингулярности
коэффициента уравнения в точке и = 0 одно из решений (#2 ) имеет
особенность при м = 0. Однако звуковое давление /Зр1/2'!' и производные
Эр/Эг и Э2р/Эг2 остаются ограниченными. Поскольку при учете вязкости Im 2
с < О, то значение arg и при переходе otz>zckz<zc возрастает на л.
Учитывая это, получаем
gt(K,-u)=gt(-K,u),
inK / к2\
Ег (к. -и) = ~Ег (-*,") + - (1 - -) gi (-к, и).
(9.70)
Решение (9.69) имеет обшие с (9.67) и (9.68) области применимости: 1/SL ^
? I z - zc | 1. Для того, чтобы установить связь коэффициентов
F 1,2 с Fj >2 и F3>4, представим функции параболического цилиндра в виде
разложений по степеням аргумента (см. [240, гл. 19]). Тогда для/(z)
192
(9.68) получим
Л*) = ""ЙЫ]"3/аУ(ва,0)и-1[(?з+Я4)^- у +...) +
+ I (Е3-?'4)Л(а2)(и3+...)|, (9.71)
где
e'o;2(i е"0)('+Ш гС- - т) I- (9-72)
Пусть I к | < % | z -zc I < 1. Тогда в (9.69) можно ограничиться первыми
членами рядов и пренебречь величинами к л3 In и и к и по сравнению с и2.
Из сравнения (9.69) и (9.71) ясно, что
?i,2(m)"' Л-1 [Wfaj 1?ехр0'я/4)) + W(oi, т? exp (-3/я/4))].
Условие сшивки решений при z >zc записьтается в виде
(E3-E4)R(a2) F,
% [П2 (zc)] -3/2 т"2.0)(?з + *4) = 'Рг, \3._ + : . = - - •
3(Е3 +Е4) F2 (9.73)
Аналогично, учитывая (9.70), при z < zc получаем
кЩ<х 1,0)
¦(?\ + ^2 ) - -Рг.
[r?;(zc)]3/2
>(?•, -ff2) __ Ft inn / к2\
i +^2) ~ F2 ~ 3 \ 4 /
-Яа)
3(f
(9-74)
С помощью формул (9.67) и (9.68) коэффициенты отражения и прозрачности
можно найти так же, как и в эталонной задаче с линейным профилем течения
v0 (z). Из принципа причинности следует Ех = 0. Для коэффициента
отражения получается формула, отличающаяся от (9.52) только тем, что
А1/А2 заменено на Е3/Ец и а - на а2. Модуль коэффициента прозрачности
равен
| W | = ехр [-77(0-! + За2)/4] IЕ2 I exp(-7ra2) I-1. (9.75)
Исходя из (9.73) и (9.74), легко выразить F,2 и Е34 через Е2. В
