Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
Z^^wpiKkoNi). (10.48)
Последовательно применяя формулу (10.46), находим Zi"K Тогда коэффициент
отражения дается формулой (2.67), где
Zn + i = &>Р\l(koNn+i) (10.49)
- импеданс верхнего полупространства. Коэффициент прозрачности можно
рассчитать по формуле (2.74). Если в формулах (10.48), (10.49) под АГ, и
Nn + 1 понимать /V, (fx) h JV"+1 (f"), то проведенный выше анализ позво-
210
ляет найти звуковое поле и в случае, когда полупространства f > f" и f <
< f 1 = 0 сами являются плавно-слоистыми.
В плав но-ело истой упругой среде с границами вычисление матрицы
рассеяния удается провести аналогичным образом, обобщая подход,
примененный в §4 для дискретно-слоистых сред. Этот вопрос освещен в [4,
гл. 9].
Рассмотрим подробнее случай единственной границы между плавнослоистыми
средами. Пусть она расположена при f = 0. Предположим для простоты, что в
окоестности границы нет точек поворота. Тогда по обе ее стороны решения
ф(1>2> (10.45) можно взять в ВКБ-приближении. Согласно (8.9), линейно
независимыми решениями будут
Ф?1,2)а) =^Гйехр[±"*о}(1+е/)ад], /=1,2. (10.50)
о
Эти формулы дают фСЛ с точностью до множителя [1 + O((k0L)'2)], где L -
характерный пространственный масштаб изменчивости среды. Величина е/ ~ О
((k0L) ~2) определяется формулой (8.10) при -V(f) = Ary(f). Вычисляя по
формулам (10.6) и (10.43) импеданс волны при f > 0 и f < 0 и приравнивая
полученные выражения на границе, получаем связь четырех амплитудных
коэффициентов А^1'2^
А^-А^ 1 Э Nt
4°-42) 1 *n2
-IFTWlkMitei)-m,ir ¦ (10'5,)
В этой и последующих формулах (10.53), (10.54), (10,61) и (10.62)
значения Af 1>2 и производных от N [ 2 берутся при f = 0. Второе
уравнение связи дается условием непрерывности звукового давления на
границё: Д) + ДО = ДО + Д). (10.52)
Пусть коэффициенты Азаданы, тогда из (10.51), (10.52) находим Д,2) = 1(Д)
+ Д))±
+ [ (Д) _ -(Д)+ Д>)_______-( -
[ 2Ni ( \ikoN\Ni 3f N\ ЭГ/.
(10.53)
Эти выражения справедливы с точностью до членов порядка (&0L)-2.
Когда волна падет сверху, А^ = 0 д силу условия предельного поглощения
при f -> - Если условно считать волну Ф(2-*, фаза которой увеличивается
при уменьшении f, падающей, а волну Фр) - отраженной, то отношение будет
иметь смысл коэффициента отражения V при
f = 0. Такое определение коэффициента отражения будет вполне строгим,
если полупространство f > f j однородно. Из (10.51) получаем
V =
/ 1 bN\ 1 ЭД\ 1
JVi(l+e,)- Д(1 + е2) - - - -гг -JTJTTT
\N 2 3f N у 3f / 4ik0
14*
211
Г / i dNi i элг?\ l I"1
(i 0.541
Отметим, что учет следующего члена разложения по степеням ко в (10,50)
(см. (8.9)) привел бы к появлению в (10.51) слагаемых О((к0Ь) 2), а в
(10.54) - 0((k0Ly3). Поэтому выражение (10.54) определяет коэффициент
отражения с точностью до членов порядка(fc0E)2 включительно. Рассмотрим
три случая.
Пусть N j Ф N2. Тогда с точностью до малых поправок порядка (fcoi)
коэффициент отражения V = ((N1 - N2 + TV2) "1, т.е. совпадает с
фре-
нелевским коэффициентом охгражения. Другими словами, локально-плоские
волны (10.50) отражаются отг обычных границ раздела так же, как и плоские
волны от границы однородных сред. Если в верхней среде выше горизонта f=
0 имеется точка поворота f(z,) - то при f < получаем
(f) = * I^Vi(f)l, и волна прихсодит к границе с малой амплитудой.
Выясним, как влияет на звуковое поле; отражающая граница, расположенная
за точкой поворота. Если граница и дочка поворота близки, для решений Ф^
(?) нужно брать выражения, содержащие функции Эйри ( §9). Мы рассмотрим
более простой случай, когда одлягоризонтов Zj иг, выполнено неравенство
(8.18). Тогда при > 0 вертикальную зависимость звукового
поля можно представить в видце
?/•
Ф(?) = lNl~1/2lBt ехр(-А:с0 / 1ЛМ<*Г) +
Г
fr
+ В2 ехр(*о / l^Vldf)]. (10.55)
Г
Здесь экспоненциально затухаающая при удалении от точки поворота волна с
амплитудой В i является ''ппадающей", а волна с амплитудой В2 -
''отраженной". Выше точки поворотха (f > f г) имеем
Ф(0 = N~1/2[B3 exp(ik0 Nd?) + B4 exp (~ik0 f N <*?)] ¦ (10.56)
if, ir
Согласно (9.30), амплитуднные коэффициенты выше и ниже горизонта поворота
связаны равенствамии
В3 =е-пЧ4(в1 + 0,5 z Д2),1,
О0-*7) В4 = е,п'4 {в! - 0,5 i В2 ).
Коэффициент отражения на х горизонте f - 0 был найден выше:
? г ?г
V (О) s Вг ехр(к0 S lATlrff ехр (~к0 f \N\dO)~l = о о
= OVi - N2) (N\ +N2y1. (10.58)
Выражая с зачетом (10.57) отношение В3/В4 через В\/В2, найдем коэффи-
212
циент отражения иа горизонте f > f r:
вг S 1 + ia / ? ijt\
K(f) = - exp (2 /t0 / Wrff) = ------------------ exp(2/A:o f N
dt - -I,
Вл Sr 1-ia \ tr 2/
(10.59)
a = ---------1-----2 exp(-2A:0 / lAMrff). • (10.60)
2 TV, +1V2 о
В условиях применимости приближения ВКБ lal 1. Отличие коэффициента
отражения (10.59) и коэффициента отражения (9.31) от точки поворота
экспоненциально мало. Как и следовало ожидать, это отличие вообще
исчезает при = N2 или f,. -" + °°. Если ниже границы Г = О величина N2
вещественна, т.е. волна уносит энергию к f = -°°, то Im а > 0 и из
